中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题10 倍长中线模型巩固练习（基础）（2份，原卷版+解析版）

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（1）求证：AB＋AC＞2AD．
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【解答】（1）证明见解析；（2）1＜AD＜4
【解析】（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∴AE＝2AD．
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，
在△ABE中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD；
（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，
∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求证：AB＝AC．
【解答】证明见解析
【解析】证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB，∠2＝∠E，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，
∴AB＝BE，∴AB＝AC.
3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC．
求证：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．
【解答】证明过程见解析
【解析】证明：如图，延长CD到F，使DF＝CD，连接BF．
由题意可得CF＝2CD，
∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，
在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF＝AC，∠3＝∠A，
∵CB是△AEC的中线，∴BE＝AB，
∵AC＝AB，∴BE＝AC，∴BE＝BF，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，
∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，
在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠4＝∠5，∴CE＝2CD，∴CB平分∠DCE.
4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF＝∠EAF.
【解答】证明见解析
【解析】证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠CAD＝∠M，AC＝MB，
∵BE＝AC，∴BE＝MB，∴∠M＝∠BEM，∴∠CAD＝∠BEM，
∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAD＝∠AEF，即∠AEF＝∠EAF.
5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．
【解答】证明见解析
【解析】证明：如图，延长FE到M，使EM＝EF，连接BM．
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），
∴CF＝BM，∠F＝∠M，
∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，
∵AD∥EF，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，
即AD为△ABC的角平分线．
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的长．
【解答】CE＝2.3
【解析】如图，延长AF交BC的延长线于点G．
∵AD∥BC，∴∠3＝∠G，
∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，
在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG，
∵AD＝2.7，∴CG＝2.7，
∵AE＝BE，∴∠5＝∠B，
∵AB⊥AF，∴∠4＋∠5＝90°，∠B＋∠G＝90°，
∴∠4＝∠G，∴EG＝AE＝5，∴CE＝EG－CG＝5－2.7＝2.3.
7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB＝90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG＝CG且EG⊥CG．
【解答】证明见解析
【解析】证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．
由题意，∠FEB＝90°，∠DCB＝90°，∴∠DCB＋∠FEB＝180°，
∴EF∥CD，∴∠FEG＝∠M，
∵点G为FD中点，∴FG＝DG，
在△FGE和△DGM中，，∴△FGE≌△DGM（AAS），
∴EF＝MD，EG＝MG，
∵△FEB是等腰直角三角形，∴EF＝EB，∴BE＝MD，
在正方形ABCD中，BC＝CD，∴BE＋BC＝MD＋CD，即EC＝MC，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∵EG＝MG，∴EG⊥CG，∠ECG＝∠MCG＝45°，∴EG＝CG.
8.如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．
【解答】AF⊥DF且AF＝DF
【解析】AF⊥DF，AF＝DF，理由如下：
延长DF交AC于点P，如图所示：
∵BA⊥AC，ED⊥BD，∴∠BAC＝∠EDA＝90°，
∴DE∥AC，∴∠DEC＝∠ECA，
∵F为EC中点，∴EF＝CF，
在△EDF和△CPF中，，∴△EDF≌△CPF（ASA），
∴DE＝CP，DF＝PF，
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，DE＝BD，∴AB－BD＝AC－DE＝AC－CP，即AD＝AP，
在△DAF和△PAF中，，∴△DAF≌△PAF（SSS），
∴∠DFA＝∠PFA＝90°，∠DAF＝∠PAF＝45°，∴AF⊥DF，AF＝DF.