中考数学一轮复习真题探究+变式训练专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）（2份，原卷版+解析版）

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考查类型一 交点问题
例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案．
【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
例2 （2022·湖北荆州·统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
例3 （2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC；
（2）解：a>0时，抛物线开口向上．
当△=b2−4ac0﹒
∵a>0，
∴顶点纵坐标﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
二次函数与X轴的交点有三种可能，分别是有两个交点、一个交点和无交点。在初中范围内，二次函数与Y轴始终有交点（当x=0时，y必有一个值）。在实际解题中，与Y轴的交点纵坐标的值，就是函数表达式中c的值。
二次函数与X轴若有两个交点，则求根公式大于0，如果一个交点，则求根公式等于0，如果无交点，则求根公式小于0。通常情况下，二次函数的求解中都是有两个交点。只是要注意，不同的题型，不同的情况下求解方法也不同。总之在求解中要灵活应用各种公式，巧妙应对，解题就变得轻巧。
二次函数与X轴交点的求解方法
以上简要介绍二次函数与X轴的交点，而在实际情况中，更加的复杂，下面从常见的四种情况进行解析：
1、无交点；如果二次函数与X轴无交点，则判别公式b^2-4ac0,k>0则一定与X轴无交点。
2、有一个交点；这种情况下求根公式等于0，函数解析式应该可以进行因式分解，并且是一个完全平方数，作为学生要对x+1,x-1,x+2,x-2等式子的完全平方式非常熟悉，一看就知道是完全平方式。常见的y=x^2+2x+1,或者y=x^2-2x+1都是完全平方式。
3、有两个交点；这种情况下求根公式大于0，通常情况下，二次函数都是与X轴有两个交点。这两个交点也有三种可能，第一种是一个交点在正半轴，一个交点在负半轴；第二种可能是两个都在正半轴；第三种可能是都在负半轴。
4、有交点；这个时候，一定要注意，有交点有两层含义，一层含义是有一个交点，第二层含义是有两个交点。部分同学只注意到有两个交点，疏忽有一个交点也算是有交点，犯错的原因是对题目意思没有理解。
二次函数与Y轴交点的求解方法
函数与Y轴的交点，要么在Y轴的正半轴，要么在Y轴的负半轴，还有一种特别情况，就是过原点，此时的函数解析式的常数项必是0。如果与Y轴的正半轴有交点，则常数项c大于0，如果与Y轴的负半轴有交点，则常数项c小于0。
通常在解题中，会出现这样的题型：
已知某二次函数经过（0，c)，题目中会具体地指出c的值，这个时候，可以把函数解析式y=ax^2+bx+c得c的具体值直接带入解析式中，求解更加方便。
还有根据函数经过Y轴正半轴或者负半轴，可以肯定必定过哪个象限，如果经过Y轴的正半轴，则必定经过第二象限。如果经过Y轴负半轴，则必定经过第三象限。
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①②③④D．③
【答案】D
【分析】不妨假设，利用图像法一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴抛物线的对称轴为，
不妨假设．
①如图1中，当，，点，满足，
∵，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故①错误；
②当，，满足，
这时点，在抛物线对称轴的左侧，
∵
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故②错误．
③∵，
∴，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故③正确．
④如图中，当，，点，满足，
∵，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故④错误．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图像上的点的特征等知识．解题的关键是学会利用图像法解决问题．
【变式2】（2022·福建漳州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系和判别式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由，，
可得，，
取，，
则，
此时．，故错误．
B、由，，
可得，，
取，，
则，此时，．
故B错误．
C、，，
，，
，，是正实数，
，
，
，
对于，
则有△，
，
选项C正确；
D、由，，
可得，，
取，，则，
此时，．
故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则______．
【答案】0或或
【分析】当时，可知满足条件，当时，分当函数图象过原点时和不过原点，当过原点时，可知满足条件，当不过原点时，可知二次函数图象与轴只有一个交点，令，得到一个关于的一元二次方程，可知该方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式等于0可求得的值．
【详解】解：当时，函数为，与坐标轴只有两个交点，满足条件；
当时，分两种情况：
①当函数图象过原点时，则有，解得，此时满足条件；
②当函数图象不过原点时，令可得，
因其与轴有一个交点，所以该方程有两个相等的实数根，
，即，整理可得，
解得，
综上可知的值为0或或．
故答案为：0或或．
【点睛】本题主要考查函数与坐标轴的交点，由条件得出函数图象与轴只有一个交点是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
【变式4】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
令，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴B点的纵坐标为，
把代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
【变式5】（2021·江苏南通·统考一模）已知抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1（m是常数）．
(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标（可用含m的代数式表示）；
(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m﹣1）个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x≤0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)已知A（1，1），B（3，1），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线与x轴的交点坐标是（1﹣m，0）与（﹣1﹣m，0），抛物线的顶点坐标是（﹣m，﹣1）
(2)m的取值范围：1＜m≤2
(3)﹣3≤m≤﹣1或﹣3﹣≤m≤﹣1﹣．
【分析】（1）方程x2+2mx+m2- 1=0的解就是抛物线与x∶轴的交点的横坐标，用顶点坐标公式直接求出顶点坐标；
（2）先由平移的性质求出平移后的函数解析式，再根据△