中考数学一轮复习真题探究+变式训练专题31 对角互补模型（2份，原卷版+解析版）

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例1 （2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2 （2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
例3 （2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．
①求的长．
②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．
对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等三角形的证明、倒角的计算、线段数量关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，在校内考试、中考中一直都是热门考点。对角互补模型在初二陆续就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以简答题进行考察。
常见的四边形对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180-2α）对角互补模型。本文会分享对角互补模型常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等.
模型1：全等形——90°对角互补模型

模型2：全等形——120°对角互补模型
模型3：全等形——任意角对角互补模型
模型4：相似形——90°对角互补模型

【变式1】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【变式2】（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 __．
【变式3】（2021·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．
【变式4】（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】
(1)如图①，在四边形中，，，求证∶；
(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长；
(3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长．
【变式5】（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
【培优练习】
1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
2．（2021·山西·九年级专题练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为__．
3．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为，求的长．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．
如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形．
【概念理解】
(1)用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形．
①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形；
(2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则 ；
【初步应用】
如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．
(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；
(4)若，，则的值为 ．
【迁移应用】
(5)如图3，，等腰的B、C两点分别在射线上，且斜边 (P、A在两侧)，若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值．
5．（2022秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
(1)如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．
(2)如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．
(3)如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
6．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市怡雅中学校考阶段练习）新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．如图1，在四边形中，，，则四边形是一个等补四边形．
(1)在数学活动课上，怡怡小组对等补四边形进一步探究，发现平分．怡怡小组提供的解题思路是：如图2，过点分别作于，交的延长线于，通过证明，得，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到平分．请你写出怡怡小组的完整证明过程；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点、在轴上，以为直径的⊙M交轴于点、，点为弧上一动点（不与、重合）．
①求证：四边形始终是一个等补四边形；
②在图3中，若，，连接，，的值是否会随着点的移动而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由．
7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
（1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵是的直径，
∴__________________，
∴，
∵四边形内角和等于，
∴__________________．
（2）请回答问题2，并说明理由．
深入探究：
如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．
（1）直接写出四边形边满足的数量关系_________；
（2）探究、满足的位置关系；
（3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．
8．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆”
(1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________：
(2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积；
(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，．
①求证：A，D，B，E“四点共圆”；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．
9．（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．
(1)如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；
(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若，AC＝12，求FG的长；
(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，，求y与x之间的函数关系式．
10．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．
11．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；
(2)如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA=CB+CD；
(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．
12．（2022春·吉林·八年级吉林省实验校考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，过点B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥BE于点F．
①试求EF的长；
②连结BD，若点M是线段DB上的动点，请直接写出△MEF周长的最小值．
13．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD中，，与互补，，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，，，，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，，，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为，求与之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．
14．（2022·山西晋中·统考二模）综合与实践
问题背景：
在综合与实践课上，老师让同学们探索有一组邻边相等，一组对角互补的四边形的性质．如图1，在四边形中，，．
实践操作：
(1)同学们首先从特殊情形开始探索，如图2，当时，其它条件不变，发现了平分的性质，有两个小组给出如下的证明思路：
“团结组”：利用“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”；
“实践组”：由想到将绕点旋转，使与重合，将四边形转化成我们学过的特殊图形．
①请你分别在图2，图3中画出符合“团结组”和“实践组”思路的辅助线；
②求证：平分；（从上面的两个思路中选一个或按照自己的思路）
(2)“创新组”的同学发现在图2中，请你说明理由；
拓展延伸：
(3)“善思组”的同学受“创新组”同学的启发，提出如下问题：如图4，当时，其它条件不变，延长到点，使，过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，若，则四边形的形状为_______，四边形的面积为______．
15．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长．
16．（2022·全国·九年级专题练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
17．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”．
(1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”．
①若，则∠D的度数是_________；
②若，且，则_______．
(2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明．
(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分．
①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；
②如图（4），设，连接，当，且时，求的值．
18．（2022·浙江金华·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
(1)阅读与理解：
如图1，四边形内接于⊙O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD （填“是”或“不是”）等补四边形．
(2)探究与运用：
①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；
②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．
(3)思考与延伸：
在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．
19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形ABCD的面积等于 ．
(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC．
(3)现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原因，要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值．
20．（2021·山西大同·统考一模）综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN＝ ．
21．（2021·贵州遵义·统考二模）新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．如图1，在四边形中，，，则四边形是一个等补四边形．在数学活动课上，巧巧小组对等补四边形进一步探究，发现平分．
（1）巧巧小组提供的解题思路是：如图2，过点分别作于，交的延长线于，通过证明，得，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到平分．请你写出巧巧小组的完整证明过程；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，点、在轴上，以为直径的交轴于点、，点为弧上一动点（不与、重合），求证：四边形始终是一个等补四边形；
（3）在（2）的条件下，如图4，已知，，巧巧小组提出了一个问题：连接，与的比值是否会随着点的移动而变化？若不变化，请求出其比值；若变化，请说明理由．
22．（2021春·九年级课时练习）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做友好四边形．
（1）如图1，在友好四边形中，//，且，求的度数．

（2）如图2，四边形内接于圆O，连结交于点E（不与点O重合），若E是的中点，求证：四边形是友好四边形．
（3）在（2）的条件下，
①如图3，连结交于点K，若，，，求友好四边形的面积．
②如图4，若延长交于点F，交圆O于点G，若，，，求的长．
③如图5，延长至Q，使得，若友好四边形中有一组对边平行，且，求的正弦值．
1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？
2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？