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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题37 二次函数的性质综合题（4大类型），文件包含专题37二次函数的性质综合题4大类型原卷版docx、专题37二次函数的性质综合题4大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共125页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块三 重难点题型专项训练
专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）
考查类型一 交点问题
例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
例2 （2022·湖北荆州·统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
例3 （2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
二次函数与X轴的交点有三种可能，分别是有两个交点、一个交点和无交点。在初中范围内，二次函数与Y轴始终有交点（当x=0时，y必有一个值）。在实际解题中，与Y轴的交点纵坐标的值，就是函数表达式中c的值。
二次函数与X轴若有两个交点，则求根公式大于0，如果一个交点，则求根公式等于0，如果无交点，则求根公式小于0。通常情况下，二次函数的求解中都是有两个交点。只是要注意，不同的题型，不同的情况下求解方法也不同。总之在求解中要灵活应用各种公式，巧妙应对，解题就变得轻巧。
二次函数与X轴交点的求解方法
以上简要介绍二次函数与X轴的交点，而在实际情况中，更加的复杂，下面从常见的四种情况进行解析：
1、无交点；如果二次函数与X轴无交点，则判别公式b^2-4ac<0,此时函数的图像要么位于X轴的上方，或者X轴的下方。如果与X轴无交点，相应的函数解析式在实数范围内也是无解，例如y=x^2-3x+5,y=3x^2+2x+6都是与X轴无交点。
如何判断无交点，有一个很好的经验可以直接判断，就是二次项和常数项系数为同号的时候，很可能无交点，如果二次项和常数项是异同，即一正一副的时候，肯定有交点，因为b^2是非负数，-4ac也是非负数。因此求根公式肯定是非负数。如果二次函数的解析式转化成y=a(x+h)^2+k的时候，如果a>0,k>0则一定与X轴无交点。
2、有一个交点；这种情况下求根公式等于0，函数解析式应该可以进行因式分解，并且是一个完全平方数，作为学生要对x+1,x-1,x+2,x-2等式子的完全平方式非常熟悉，一看就知道是完全平方式。常见的y=x^2+2x+1,或者y=x^2-2x+1都是完全平方式。
3、有两个交点；这种情况下求根公式大于0，通常情况下，二次函数都是与X轴有两个交点。这两个交点也有三种可能，第一种是一个交点在正半轴，一个交点在负半轴；第二种可能是两个都在正半轴；第三种可能是都在负半轴。
4、有交点；这个时候，一定要注意，有交点有两层含义，一层含义是有一个交点，第二层含义是有两个交点。部分同学只注意到有两个交点，疏忽有一个交点也算是有交点，犯错的原因是对题目意思没有理解。
二次函数与Y轴交点的求解方法
函数与Y轴的交点，要么在Y轴的正半轴，要么在Y轴的负半轴，还有一种特别情况，就是过原点，此时的函数解析式的常数项必是0。如果与Y轴的正半轴有交点，则常数项c大于0，如果与Y轴的负半轴有交点，则常数项c小于0。
通常在解题中，会出现这样的题型：
已知某二次函数经过（0，c)，题目中会具体地指出c的值，这个时候，可以把函数解析式y=ax^2+bx+c得c的具体值直接带入解析式中，求解更加方便。
还有根据函数经过Y轴正半轴或者负半轴，可以肯定必定过哪个象限，如果经过Y轴的正半轴，则必定经过第二象限。如果经过Y轴负半轴，则必定经过第三象限。
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①②③④D．③
【变式2】（2022·福建漳州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式3】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则______．
【变式4】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【变式5】（2021·江苏南通·统考一模）已知抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1（m是常数）．
(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标（可用含m的代数式表示）；
(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m﹣1）个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x≤0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)已知A（1，1），B（3，1），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
考查类型二 恒成立问题
例1 （2020·浙江嘉兴·统考中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1A．①B．②C．③D．④
例2 （2021·浙江·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．
例3 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
1、y＞0恒成立：其实就是开口要向上，而且与x轴无交点，也就是建立y=0的方程，让△＜0；
2、y≥0恒成立：比前一个多了个△=0的情况，所以就是△≤0，当然，开口要向上；
3、y＜0恒成立：那么开口就要向下，同样与x轴无交点，判别式△＜0；
4、y≤0恒成立：开口向下，其他同第2种；
5、y≥m或y≤m恒成立：其实就是y-m≥0或y-m≤0的形式，和前面没啥区别；
6、二次函数恒经过某坐标点：这种情况可能会相对较难，所以同学们在思考的时候一定要记得，肯定是某点的坐标代入后会将未知系数抵消，一定要记住这个切入点，然后根据情况进行变换；
7、然后就是和一次函数恒有交点：都是同样的方法；
【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·河北·统考一模）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线1，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
【变式3】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“Y函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“Y点”．若关于x的“Y函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，则直线l经过的定点为 _____．
【变式4】（2022·浙江湖州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，12），M是抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是__．
【变式5】（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
考查类型三 函数值最值问题
例1 （2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
例2 （2021·内蒙古·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
例3 （2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
方法总结
二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。
解决二次函数最值问题，若遇见对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形。
若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。
【变式1】（2021·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为－6，最大值为－2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考三模）已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足．
（1）用含a的代数式表示b为_____；
（2）mn的最大值为_____．
【变式4】（2022·河北石家庄·二模）在中，，，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：
（1）当______时，；
（2）BD的最大值为______．
【变式5】（2022·吉林长春·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）．
(1)当在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求a的值．
(3)已知、，连接．当抛物线与线段有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形．
①若抛物线在矩形内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
考查类型四 其他性质综合问题
例1 （2022·四川宜宾·统考中考真题）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．
例3 （2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
一般式：（，，为常数，）；
知识点：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【变式1】（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·广东·模拟预测）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为_________
【变式4】（2021·安徽阜阳·统考一模）如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）．
（1）当的面积最大时，的大小为______ ．
（2）等边的边长为______ ．
【变式5】（2022·山东德州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)当时，直接写出点A，C，D的坐标：A______，C______，D______；
(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若，求a的值和CE的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②设，求f的最大值．
【培优练习】
1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）定义：若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
4．（2023秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ）
A．8B．9C．12D．18
5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：
；
关于的方程的解是，；
当时，；
当时，；
周长的最小值是．
正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动．设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·山东济南·九年级校考期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（ ）
A．B．
C．或D．或
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，则的最小值为（ ）．
A．16B．18C．15D．21
9．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，，，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点．若CD过的重心G，则点G的坐标为___________．
10．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．
11．（2023秋·河北石家庄·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，，连接，抛物线经过点，且与线段恰有一个公共点．
（1）抛物线的对称轴为直线___________；
（2）的取值范围为___________．
12．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是______．
13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为______．
14．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）小明以等腰三角形底边的中垂线和所在的直线建立平面直角坐标系．如图，，抛物线经过A、两点，点的坐标为___________；若一条与轴重合的直线以每秒3个单位长度的速度向右平移，分别交线段、和抛物线于点、和点，连接、．设直线移动的时间为秒，当的面积最大时，点的坐标为___________；若使是直角三角形，则___________．
15．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）某公司去年推出一种节能产品，售价元个与月销量个的函数关系如下表，成本为元个，同时每月还需支出固定广告费元
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出与之间的函数关系式；
(2)若出售这种节能产品的月利润为元，请用含的代数式表示月利润，并求出当月销售量为个时的月利润；
(3)该公司去年每个月都销售了个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了元，产品成本增加了%，因此售价上调元，由此月销量减少．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了元．求的整数值．（参考数据：，，）
16．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D．
①求抛物线解析式和点B的坐标；
②若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标．
17．（2023秋·广东惠州·九年级校考期末）已知O为坐标原点，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，，点A，C在直线上．
(1)求点C的坐标．
(2)当随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．
(3)将抛物线向左平移个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P没有公共点时，求的最小值．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，，，且，求点的坐标．
19．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，．
(1)求该抛物线解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值．
20．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作轴，垂足为点．
(1)求直线AB的函数解析式．
(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒1个单位的速度向点C移动，过点P作轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．
(3)在（2）的条件下（不考虑点P与点O、C重合的情况），连接CM、BN，是否存在某一时刻使得四边形BCMN为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
考查类型
考查类型一 交点问题
考查类型二 恒成立问题
考查类型三 函数值最值问题
考查类型四 其他性质综合题
新题速递
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
售价y（元/个）
…
月销量x（个）
…
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块三 重难点题型专项训练
专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）
考查类型一 交点问题
例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
例2 （2022·湖北荆州·统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
例3 （2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
二次函数与X轴的交点有三种可能，分别是有两个交点、一个交点和无交点。在初中范围内，二次函数与Y轴始终有交点（当x=0时，y必有一个值）。在实际解题中，与Y轴的交点纵坐标的值，就是函数表达式中c的值。
二次函数与X轴若有两个交点，则求根公式大于0，如果一个交点，则求根公式等于0，如果无交点，则求根公式小于0。通常情况下，二次函数的求解中都是有两个交点。只是要注意，不同的题型，不同的情况下求解方法也不同。总之在求解中要灵活应用各种公式，巧妙应对，解题就变得轻巧。
二次函数与X轴交点的求解方法
以上简要介绍二次函数与X轴的交点，而在实际情况中，更加的复杂，下面从常见的四种情况进行解析：
1、无交点；如果二次函数与X轴无交点，则判别公式b^2-4ac<0,此时函数的图像要么位于X轴的上方，或者X轴的下方。如果与X轴无交点，相应的函数解析式在实数范围内也是无解，例如y=x^2-3x+5,y=3x^2+2x+6都是与X轴无交点。
如何判断无交点，有一个很好的经验可以直接判断，就是二次项和常数项系数为同号的时候，很可能无交点，如果二次项和常数项是异同，即一正一副的时候，肯定有交点，因为b^2是非负数，-4ac也是非负数。因此求根公式肯定是非负数。如果二次函数的解析式转化成y=a(x+h)^2+k的时候，如果a>0,k>0则一定与X轴无交点。
2、有一个交点；这种情况下求根公式等于0，函数解析式应该可以进行因式分解，并且是一个完全平方数，作为学生要对x+1,x-1,x+2,x-2等式子的完全平方式非常熟悉，一看就知道是完全平方式。常见的y=x^2+2x+1,或者y=x^2-2x+1都是完全平方式。
3、有两个交点；这种情况下求根公式大于0，通常情况下，二次函数都是与X轴有两个交点。这两个交点也有三种可能，第一种是一个交点在正半轴，一个交点在负半轴；第二种可能是两个都在正半轴；第三种可能是都在负半轴。
4、有交点；这个时候，一定要注意，有交点有两层含义，一层含义是有一个交点，第二层含义是有两个交点。部分同学只注意到有两个交点，疏忽有一个交点也算是有交点，犯错的原因是对题目意思没有理解。
二次函数与Y轴交点的求解方法
函数与Y轴的交点，要么在Y轴的正半轴，要么在Y轴的负半轴，还有一种特别情况，就是过原点，此时的函数解析式的常数项必是0。如果与Y轴的正半轴有交点，则常数项c大于0，如果与Y轴的负半轴有交点，则常数项c小于0。
通常在解题中，会出现这样的题型：
已知某二次函数经过（0，c)，题目中会具体地指出c的值，这个时候，可以把函数解析式y=ax^2+bx+c得c的具体值直接带入解析式中，求解更加方便。
还有根据函数经过Y轴正半轴或者负半轴，可以肯定必定过哪个象限，如果经过Y轴的正半轴，则必定经过第二象限。如果经过Y轴负半轴，则必定经过第三象限。
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①②③④D．③
【变式2】（2022·福建漳州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式3】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则______．
【变式4】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【变式5】（2021·江苏南通·统考一模）已知抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1（m是常数）．
(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标（可用含m的代数式表示）；
(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m﹣1）个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x≤0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)已知A（1，1），B（3，1），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
考查类型二 恒成立问题
例1 （2020·浙江嘉兴·统考中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1
例2 （2021·浙江·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．
例3 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
1、y＞0恒成立：其实就是开口要向上，而且与x轴无交点，也就是建立y=0的方程，让△＜0；
2、y≥0恒成立：比前一个多了个△=0的情况，所以就是△≤0，当然，开口要向上；
3、y＜0恒成立：那么开口就要向下，同样与x轴无交点，判别式△＜0；
4、y≤0恒成立：开口向下，其他同第2种；
5、y≥m或y≤m恒成立：其实就是y-m≥0或y-m≤0的形式，和前面没啥区别；
6、二次函数恒经过某坐标点：这种情况可能会相对较难，所以同学们在思考的时候一定要记得，肯定是某点的坐标代入后会将未知系数抵消，一定要记住这个切入点，然后根据情况进行变换；
7、然后就是和一次函数恒有交点：都是同样的方法；
【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·河北·统考一模）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线1，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
【变式3】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“Y函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“Y点”．若关于x的“Y函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，则直线l经过的定点为 _____．
【变式4】（2022·浙江湖州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，12），M是抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是__．
【变式5】（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
考查类型三 函数值最值问题
例1 （2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
例2 （2021·内蒙古·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
例3 （2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
方法总结
二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。
解决二次函数最值问题，若遇见对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形。
若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。
【变式1】（2021·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为－6，最大值为－2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考三模）已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足．
（1）用含a的代数式表示b为_____；
（2）mn的最大值为_____．
【变式4】（2022·河北石家庄·二模）在中，，，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：
（1）当______时，；
（2）BD的最大值为______．
【变式5】（2022·吉林长春·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）．
(1)当在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求a的值．
(3)已知、，连接．当抛物线与线段有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形．
①若抛物线在矩形内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
考查类型四 其他性质综合问题
例1 （2022·四川宜宾·统考中考真题）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．
例3 （2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
一般式：（，，为常数，）；
知识点：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【变式1】（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·广东·模拟预测）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为_________
【变式4】（2021·安徽阜阳·统考一模）如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）．
（1）当的面积最大时，的大小为______ ．
（2）等边的边长为______ ．
【变式5】（2022·山东德州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)当时，直接写出点A，C，D的坐标：A______，C______，D______；
(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若，求a的值和CE的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②设，求f的最大值．
【培优练习】
1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）定义：若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
4．（2023秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ）
A．8B．9C．12D．18
5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：
；
关于的方程的解是，；
当时，；
当时，；
周长的最小值是．
正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动．设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·山东济南·九年级校考期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（ ）
A．B．
C．或D．或
8．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，则的最小值为（ ）．
A．16B．18C．15D．21
9．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，，，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点．若CD过的重心G，则点G的坐标为___________．
10．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．
11．（2023秋·河北石家庄·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，，连接，抛物线经过点，且与线段恰有一个公共点．
（1）抛物线的对称轴为直线___________；
（2）的取值范围为___________．
12．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是______．
13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为______．
14．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）小明以等腰三角形底边的中垂线和所在的直线建立平面直角坐标系．如图，，抛物线经过A、两点，点的坐标为___________；若一条与轴重合的直线以每秒3个单位长度的速度向右平移，分别交线段、和抛物线于点、和点，连接、．设直线移动的时间为秒，当的面积最大时，点的坐标为___________；若使是直角三角形，则___________．
15．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）某公司去年推出一种节能产品，售价元个与月销量个的函数关系如下表，成本为元个，同时每月还需支出固定广告费元
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出与之间的函数关系式；
(2)若出售这种节能产品的月利润为元，请用含的代数式表示月利润，并求出当月销售量为个时的月利润；
(3)该公司去年每个月都销售了个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了元，产品成本增加了%，因此售价上调元，由此月销量减少．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了元．求的整数值．（参考数据：，，）
16．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D．
①求抛物线解析式和点B的坐标；
②若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标．
17．（2023秋·广东惠州·九年级校考期末）已知O为坐标原点，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，，点A，C在直线上．
(1)求点C的坐标．
(2)当随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．
(3)将抛物线向左平移个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P没有公共点时，求的最小值．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，，，且，求点的坐标．
19．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，．
(1)求该抛物线解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值．
20．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作轴，垂足为点．
(1)求直线AB的函数解析式．
(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒1个单位的速度向点C移动，过点P作轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．
(3)在（2）的条件下（不考虑点P与点O、C重合的情况），连接CM、BN，是否存在某一时刻使得四边形BCMN为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
考查类型
考查类型一 交点问题
考查类型二 恒成立问题
考查类型三 函数值最值问题
考查类型四 其他性质综合题
新题速递
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
售价y（元/个）
…
月销量x（个）
…
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