中考数学一轮复习真题探究+变式训练专题27 倍长中线模型（2份，原卷版+解析版）

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例1 （2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
例2 （2021·贵州安顺·统考中考真题）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
例3 （2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明即可；
（3）①方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明；
②延长CO交DB的延长线于点E，证明，根据已知条件得出．
【详解】（1）O是线段AB的中点
在和中
（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）①数量关系依然成立．
证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如图，延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵,
．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键．
倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型：
【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
证明：
∵点D为∆ABC中BC边中点
∴BD=DC
在∆ABD和∆ECD中
AD=ED
∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD（SAS） ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CE
BD=DC
在∆ADC和∆EDB中
AD=ED
∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB（SAS） ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BE
BD=DC
【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,
连接EC，则∆BDF≌∆CDE
总结:
【变式1】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝BP＝．
故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
【变式2】（2021·贵州遵义·校联考二模）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（ ）
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2
【答案】A
【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．
【详解】解：如图，取CG的中点H，连接EH，
∵E是AC的中点，
∴EH是△ACG的中位线，
∴EH//AD，
∴∠GDF=∠HEF，
∵F是DE的中点，
∴DF=EF，
在△DFG和△EFH中，
，
∴△DFG≌△EFH（ASA），
∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，
又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，
∴S△CEF=3S△EFH，
∴S△CEF=3S△DGF，
∴S△DGF=×12=4（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线性质．利用倍长类中线构造全等三角形转换面积和线段关系是解题关键．
【变式3】（2022·四川成都·统考一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．
【答案】
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边关系可知AB-BE