重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 试题总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.
【详解】由已知直线的斜率为 ，
所以倾斜角．
故选：D.
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.
【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量基本定理求解即可.
【详解】解：由，点为的中点，
可得，
又，．
故选：C.
4. 若直线与相离，则点与圆的位置关系为（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上
C. 点在圆外D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系.
【详解】由题设与直线的距离，即，
所以点在圆内.
故选：A
5. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可.
【详解】由圆，圆，
两式相减得相交弦所在直线方程：.
由圆可得圆，
所以圆心、半径.
所以圆心到直线的距离，
所以相交弦长为.
故选：C
6. 已知是椭圆上的动点，过作y轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设Px1,y1，Bx,y，则，根据求出代入椭圆方程可得答案.
【详解】设Px1,y1，Bx,y，则，
因为，所以，
可得，所以有.
故选：B.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
所以
，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
而，
故的最小值为，
故选：B.
8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.
【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，
由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形.
因为，设，，
则，，
所以，，
在中，，即，
解得，所以，，，
在中，由勾股定理可得，即，
整理可得，解得.
故选：C.
二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若，则是钝角
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.
【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；
对于B，因为且，
所以P，A，B，C四点共面，B正确；
对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，
假设共面，则，
即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对于D，若，则是钝角或是，D错误；
故选：ABC
10. 若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】由直线，
若或重合时，则满足，解得；
若或重合时，则满足，解得；
若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，
联立方程组，解得，即交点，
将点代入直线，可得，解得
故选：ABC.
11. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点B. 若，则的面积为
C. 的最小值为D. 的面积的最大值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，直线变形后求出所过定点；
B选项，求出，进而由直线垂直关系得到，得到，从而求出到的距离和，求出面积；
C选项，求出到的距离的最大值，从而由垂径定理得到的最小值；
D选项，表达出面积为，利用基本不等式求出最大值.
【详解】A选项，直线变形为，
所以直线过定点，A选项正确；
B选项，易知道，若直线，则，解得，
此时直线，
到的距离，则，
故的面积为，B选项正确；
C选项，由A选项知，直线过定点，
所以到的距离的最大值为，
由于，故此时取得最小值，
最小值为，C选项错误；
D选项，设到的距离为，
则面积为，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确．
故选：ABD．
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，作图分析可知.
【详解】表示过点Mx,y和点的直线斜率，
如图，
因为，结合图形可知或，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用数形结合思想来判断交点情况，就可以得到斜率的取值范围.
【详解】由曲线平方得：，
可得上述方程曲线表示半圆，
再由直线变形得：，从而可知：直线过定点，
如图

当直线与圆相切时有一个交点，此时由圆心到直线的距离等于半径可得：
，解得：或（由图可知，舍去），
当直线过点时，可得，解得，
当直线过点时，可得，解得，
由直线可知，表示直线的斜率，结合图形要有一个交点，
则斜率满足或，
故答案为：.
14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.
【答案】4,+∞
【解析】
【分析】先作出关于对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．
【详解】∵，∴直线方程为，直线方程为,
如图， 作关于的对称点，则，
再作关于的对称点，则,
连接交与点，则直线方程为,
∴，
连接分别交为点，
则直线方程为，直线方程为，
∴，连接，
则之间即为点 的变动范围．
∵直线方程为，直线的斜率为
∴斜率的范围为
故答案为：.
【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 已知直线．
（1）若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
（2）若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；
（2）设，得到面积表达式求出值即可.
【小问1详解】
由题意设直线的方程为:，
由直线经过得:，解得:，
直线的方程为:，即.
【小问2详解】
由题意设直线的方程为:，
令，则;令，则，
所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，
解得:，
所以直线的一般式方程为.
16. 已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【小问1详解】
依题意，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若所求直线的斜率存在，设斜率为，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，即.
综上，切线方程为或.
17. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程.
【小问1详解】
由题意得，解得，，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线：，，
联立并整理得，，
所以，
，
解得，符合，
直线方程为，即．
18. 如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，，且.
（1）设点为棱的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面的所成角的余弦值；
（3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，点与点重合
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可.
【小问1详解】
由已知，，可知，则，
又矩形中有，且，
平面，所以平面，
又，
则平面，所以两两垂直，
故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则，所以.
易知平面的一个法向量等于n=0,1,0，
所以，所以，
又平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，
由，得，
取，则，
即为平面的一个法向量，
因为，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，
即为平面的一个法向量，
设平面与平面的所成角为，
则；
【小问3详解】
存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
理由如下：
假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.
设，
则.
所以
.
所以，解得或(舍去)，
因此，线段上存在一点，当点与点重合时，
直线与平面所成角的正弦值等于.
19. 如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C标准方程；
（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定值为0.
【解析】
【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【小问1详解】
由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.