河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了在中，角的对边分别为，若，则，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
4．底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
10．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ）
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为
13．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为 .
14．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数".
(1)判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由；
(2)若函数和，且是"同域函数"，求的值.
（15分）16．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求四棱柱被平面截得的截面周长；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
（14分）17．已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，，求满足不等式的x的取值范围.
（16分）18．某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
（18分）19．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求与平面所成角的正弦值．数学答案
1．D【详解】因为，
所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
2．C【详解】如下图所示：
设BC的中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N，
易得，，
过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为，
又为GH的中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值．
设，，由，可得，
整理得，故当，
即F为的中点时，MG取得最小值，
同理可得NG的最小值也是，
此时，，G三点共线，．
3．B【详解】由题意得，
则
4．C【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：
根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆，
即，，，，
在中，，由，，则，
在中，，即，
可得，解得，即内切球的半径，
故内切球体积为.
5．B 【详解】将函数向左平移个单位长度后得到函数，
即，
∵，∴，
∵在上有且仅有两个不相等的实根，
∴，解得，
即实数的取值范围是，
6．C【详解】如图所示，取的中点，分别记为，，
连接.
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，
此时的中点为该正六边形的中心，且平面，
当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.
设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥的底面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积.
7．B【详解】因为，所以，而，
在中，，所以，故，
由余弦定理得，代入得，
，故，
故，故B正确.
8．C【详解】设，则，
因为
，
所以，解得：，
即，可知，
过作，连接，则，
可知，且二面角的平面角为，
则为等边三角形，即，
设，因为，
即，解得：或，
可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合，
则，，由，平面，则平面，
且为二面的平面角，可知为等边三角形，
可将三棱锥补充直棱柱，如图所示，
为底面正的外心，即，
为的外接球球心，可知，且，
则三棱锥的外接球半径，
所以外接球的体积.
9．AD
【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
10．BCD
【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则，解得，故A错误；
项，前两个矩形的面积之和为
前三个矩形的面积之和为.
设该年级学生成绩的中位数为，则，
根据中位数的定义可得，解得，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确；
C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分，故C正确；
D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
11．ACD
【详解】A：由题意知，，又平面，
所以平面，由平面，得；
当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点，
所以，由平面，所以平面，故A正确；
B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于，
此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值，
又，
所以的周长的最小值为，故B错误；
C：易知中，，取的中点，过作平面，如图
，
则三棱锥的外接球的球心必在上，且，
所以球的半径为，其体积为，故C正确；
D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
所以，
易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为，
则，所以，故D正确.
12．/
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为.
因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为，则，
从而，则圆锥的体积，解得.
作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为，半径为.
则,解得，
则该圆锥的内切球的体积为.
13．
【详解】由题意可知，的定义域为R，
因为，所以为奇函数.
因为，且在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.
又，所以，
所以，解得.
14．/0.75
【详解】
如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G.
理由如下：设D，E，F共面，因，则平面，
又因平面，故三点共线，即.
取AB的中点M，连接EM，因，由可得,
因,则,又E是棱PA的中点，则,则得,
故有，又，所以，故．
15．(1)不是，理由见解析； (2).
【详解】（1）函数y=x2−2x与不是"同域函数"，理由如下：
函数y=x2−2x与的定义域均为R，
由，可知y=x2−2x的值域为，
由，可知的值域为，
则y=x2−2x与的值域不相同，
所以函数y=x2−2x与不是"同域函数".
（2）由，得，
因为函数在上单调递增，所以，
得的值域为，
由题意得的解集为，
则是关于的方程的两个解，
得，得，所以，且，
易得，
当时，函数是增函数，则的值域为，不符合题意.
当0所以，得.
16．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）因为四边形是菱形，，为的中点，所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）因为平面，
所以平面与平面的交线与平行，所以交线为，
连接，，，
则四棱柱被平面截得的截面为四边形，
，，
，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形的周长为.
（3）过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以点在平面上的射影必在上，所以直线与平面所成角为，
因为，，，，
所以，
所以，即直线与平面所成角的正切值为.
17．(1)， (2)
【详解】（1）
=
=，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
令，则，所以
所以不等式为，得，即
由，解得，所以解集为.
18．(1)；(2)中位数，平均数77 (3).
【详解】（1）依题意，得，解得；
（2）因为，，
所以中位数在间，
设为，则，解得.
平均数.
（3）依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，
依次分别记为，，，，，
对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，
设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个，
所以.
19．(1)证明见解析； (2)二面角的正切值为；
(3)与平面所成角的正弦值为.
【详解】（1）由已知，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，因为，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
（2）由已知平面，平面，
所以，又，
所以直线两两垂直，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
A3,0,0，，，，，
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则
，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
又为平面的 法向量，
设二面角的平面角为，
所以，
观察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
（3）因为，，
所以，
因为平面平面，为平面的一个法向量，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为.