重庆市铁路中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是( )
A. 空间四边形B. 平行四边形
C. 等腰梯形D. 矩形
2. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
4. 已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 12
5. 设为实数，已知直线，若，则（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
6. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 点是椭圆上点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 不相等的两个空间向量的模可能相等
D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A. CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线的距离是
11. 已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 最小值为
C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D. 若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两条平行直线与之间的距离是_______．
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则____.
14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面和夹角余弦值.
17. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程;
（2）过直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
19. 如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.