2025届高中数学二轮复习 板块三 数列 微专题21　数列的奇偶项问题（课件+练习）

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有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项、求和等.(1)求通项公式常用的方法有：隔项等差、等比数列型：将用2k－1或2k替代n，求出a2k－1，a2k的通项；(2)求数列的前n项和常用的方法有：方法一：分别求出S奇，S偶，利用Sn＝S奇＋S偶，这种思路本质上是分组求和；方法二：把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求出S2k－1，这种思路本质上是并项求和.
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)求{an}的前20项和.
即a2k＝a2k－1＋1，①a2k＋1＝a2k＋2，②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
热点一　an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型
热点三　通项公式中含有(－1)n型
热点一　an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型
(2024·衡水调研)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
由题意得当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，当n＝1时，a1＝5，适合上式，故an＝2n＋3.
(2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围.
由(1)知，cn＋1＋cn＝2n＋3，当n＝1时，c2＋c1＝5；当n≥2时，cn＋cn－1＝2(n－1)＋3，两式相减得cn＋1－cn－1＝2(n≥2)，∴数列{c2n}是以c2为首项，公差为2的等差数列，数列{c2n－1}是以c1为首项，公差为2的等差数列.
对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0成立，①当n为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0恒成立，即－c1≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立，当n＝1时，(2n2＋n－1)min＝2，∴－c1≤2，即c1≥－2；②当n为偶数时，n≥2，cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0恒成立，即c1≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立，当n＝2时，(2n2＋n＋3)min＝13，∴c1≤13.综上所述，c1的取值范围是[－2，13].
(2)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.
对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
(2024·烟台模拟)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn；等比数列{bn}的公比为q，前n项和为Tn，已知b3＝4a1，S4＝b3＋6，T3＝7a1.(1)求d和q；
由已知条件可得b1q2＝4a1，①4a1＋6d＝b1q2＋6，②b1＋b1q＋b1q2＝7a1，③由①②消去b1q2得d＝1，
(2024·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn.(1)求数列{an}的通项公式；
由对任意正整数m，n均有am＋n＝an＋am＋2mn，取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
(2)求数列{(－1)nan}的前n项和Sn.
当n为偶数时， Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋(2n－1)
(2024·珠海质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*，λ是常数).(1)若λ＝0，证明：{an}是等比数列；
an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)，当λ＝0时，an＋an＋1＝0，an＋1＝－an，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列.
(2)若λ≠0，且{an}是等比数列，求λ的值以及数列{(－1)nlg2a3n－1}的前n项和Sn.
因为a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)，λ≠0，且{an}是等比数列，所以a1＋a2＝1＋a2＝λ·2，a2＝2λ－1，a2＋a3＝2λ－1＋a3＝λ·22，a3＝2λ＋1，所以(2λ－1)2＝1×(2λ＋1)，
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4且an＋1＝Sn＋4(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
因为an＋1＝Sn＋4，当n＝1时，a2＝S1＋4＝8，当n≥2时，an＝Sn－1＋4，所以an＋1－an＝an，即an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，
所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
(2)设bn＝(－1)nlg4(an＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
4.(2024·合肥调研)已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*).(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
若数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝－3，
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
法一　由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*).两式相减，得an＋2－an＝4，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以数列{a2n－1}是首项为a1＝2，公差为4的等差数列；数列{a2n}是首项为a2＝－1，公差为4的等差数列，