2020-2021学年四川省成都市青羊区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年四川省成都市青羊区九年级上学期数学期末试卷及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值直接判断即可．
【详解】解：∵，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2. 如图所示物体的左视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：物体的左视图是：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ）
A. 3B. 12C. 18D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】设黑球个数为，根据概率公式可知白球个数除以总球数等于摸到白球的概率，建立方程求解即可.
【详解】设黑球个数为，由题意得
解得：
故选C.
【点睛】本题考查根据概率求数量，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键.
4. 反比例函数y＝的图象位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
【详解】反比例函数y＝中，k=30，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第一，三象限．
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
5. 已知某斜坡的坡角为α，坡度为i＝5：12，则csα为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据坡度的概念结合图形得出AC：BC＝5：12，据此设AC＝5x，则BC＝12x，由勾股定理知AB＝13x，再由余弦定义的概念求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知AC：BC＝5：12，
设AC＝5x，则BC＝12x，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度和余弦函数的定义及勾股定理．
6. 已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系：求得即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，则根据题意，得2=-3，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
7. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝32°，则∠D的度数为（ ）
A. 58°B. 68°C. 34°D. 64°
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余得到∠B的度数，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠D＝∠B＝58°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．
【详解】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，
∴BF=．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．
9. 如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A. B. 8C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
10. 如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(2，0)，B(6，0)，下列说法正确的是（ ）
A. b2﹣4ac＜0B. 4a﹣2b+c＜0C. c＜0D. 对称轴是直线x＝4
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的交点即可判断A；由x＝﹣2时，y＞0，即可判断B；抛物线与y轴的交点即可判断C，根据对称性求得对称轴即可判断D．
【详解】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故错误；
B、当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故错误；
C、抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，故错误；
D、∵次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝4，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题）
11 计算：sin45°﹣cs60°＝____．
【答案】
【解析】
【分析】把45°的正弦值、60°的余弦值代入原式，计算即可．
【详解】解：sin45°﹣cs60°
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝﹣的图象过点A(﹣3，y1)，B(﹣5，y2)，则y1___y2（填＞、＜或＝）．
【答案】＞
【解析】
【分析】将点A，点B坐标代入解析式可求y1，y2，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣5，y2），
∴y1＝，y2＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
13. 小明的身高为1.7米，某一时刻小明的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为7米，则这棵树的高为___米．
【答案】11.9
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：设这棵树的高度为xm，
据相同时刻物高与影长成比例，
则可列比例为＝，
解得，x＝11.9．
故答案为：11.9．
【点睛】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，利用在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答是关键．
14. “圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为_____寸．
【答案】26
【解析】
【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．
【详解】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，
∵AB⊥CD，AB＝1尺，
∴AE＝AB＝5寸，
在Rt△OAE中，
OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13（寸）．
∴CD＝2r＝26寸．
故答案为：26．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题）
15. （1）计算（﹣2）0﹣2sin30°﹣+|1﹣|；
（2）解方程：2x2+3x﹣5＝0．
【答案】（1）﹣2﹣1（2）x1＝1，x2＝﹣
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质计算，得到答案；
（2）利用因式分解法解出一元二次方程．
【详解】解：（1）原式＝1﹣2×﹣3+﹣1＝﹣2﹣1；
（2）2x2+3x﹣5＝0，
（x﹣1）（2x+5）＝0，
则x﹣1＝0或2x+5＝0，
解得，x1＝1，x2＝﹣．
【点睛】本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，AC＝12，求菱形对角线BD的长．
【答案】4
【解析】
【分析】根据菱形性质和∠BAD＝60°可得△ABD是等边三角形，根据AC＝12，利用勾股定理即可求菱形对角线BD的长．
【详解】解：在菱形ABCD中，
∵AC＝12，
∴OA＝OC＝6，
∵∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2OB，
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
AB2﹣BO2＝AO2，
∴3BO2＝36，
解得BO＝2（负值舍去），
∴BD＝2BO＝4．
答：菱形对角线BD的长为4．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17. 如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号）
【答案】两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23）米
【解析】
【分析】作BE⊥AC，知CE＝BD＝69米，由∠CBE＝45°知CE＝BE＝CD＝69米，根据AE＝BE•tan∠ABE＝23米，得AC＝AE+CE＝69+23（米），从而得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
则CE＝BD＝69米，
在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，
∴CE＝BE＝69米，
∴CD＝BE＝69米，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，tan∠ABE＝，
∴AE＝BE•tan∠ABE＝69×tan30°＝69×＝23（米），
∴AC＝AE+CE＝69+23（米），
答：两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23）米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18. 中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个基本原因：①马路红灯时间长，交通管理混乱占2%；②侥幸心态，只图自己节省时间；③对行人闯红灯违规行为惩罚措施不够严厉占8%；④从众心理．该记者将这次调查情况整理并绘制了如图尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）该记者本次一共调查了 名行人；
（2）求图1中②所在扇形的圆心角度数，并补全图2；
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率．
【答案】（1）100；（2）图1中②所在扇形的圆心角度数为198°，补全图形见解析；（3）这名行人属于第④种情况的概率为．
【解析】
【分析】（1）用原因①的人数除以其对应的百分比即可；
（2）用360°乘以原因②人数所占比例，用总人数乘以原因③对应的百分比求出其人数，再根据四种原因的人数之和等于总人数求出原因④的人数，从而补全图形；
（3）用原因④的人数除以被调查的总人数即可．
【详解】】解：（1）该记者本次一共调查行人2÷2%=100（名），
故答案为：100；
（2）图1中②所在扇形的圆心角度数为360°×=198°，
原因③对应人数为100×8%=8（名），
原因④对应人数为100-（2+55+8）=35（名），
补全图形如下：
（3）这名行人属于第④种情况的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，也考查了概率公式的应用．
19. 如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A(﹣2，a)，B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣；（2）P(﹣，0)或(，0)
【解析】
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+5上求a，进而代入反比例函数求k．
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【详解】解：（1）把点A（﹣2，a）代入y＝x+5，得a＝3，
∴A（﹣2，3）
把A（﹣2，3）代入反比例函数，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）联立两个函数的表达式得
解得或
∴点B的坐标为B（﹣3，2），
当y＝x+5＝0时，得x＝﹣5，
∴点C（﹣5，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵
∴
解得x，
∴点P(﹣，0)或(，0)．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
20. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD//AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；
（3）由（2）知AB2=BC•BE，据此知AB=8，连接AG，得∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG=∠GAC，结合∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB得∠BAG=∠BGA，从而得出BG=AB=8．
【详解】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB=AC，
∴，∠ACB=∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B，
∴∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，
∵∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=2∠ACB，
∴∠CAF=∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD=∠BCD=∠ACB，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2=BC•BE=BE（BE+CE）=BE2+BE•CE，
∴AB2-BE2=BE•EC；
（3）由（2）知：AB2=BC•BE，
∵BC•BE=64，
∴AB=8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG=∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB，∠BAD=∠ACB，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=8．
【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行线的性质，垂径定理，三角形内心的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
B卷
一、填空题(本大题5个小题)
21. 已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且＝3，则a的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】有韦达定理得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，将式＝3化简代入即可．
【详解】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，
∵＝＝＝，
∴a＝﹣1或a＝；
经检验：符合题意
∵△＝1﹣4a＞0，
∴a＜，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键．
22. 将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有灰色的有8个，再利用概率公式求出答案．
【详解】解：由题意可得：小立方体一共有64个，恰有三个面涂有灰色的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有灰色小立方体的个数是解题关键．
23. 如图，已知⊙O的半径为6，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C，交PB于点D．当∠P＝30°时，弦AC的长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】由切线的性质，得出三角形PAO是直角三角形，再根据垂径定理得出AD＝CD，∠OAD＝∠P＝30°，在直角三角形OAD中，求出AD，进而求出AC即可．
【详解】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAD+∠PAD＝90°，
又∵AC⊥PB，
∴AD＝CD，∠P+∠PAD＝90°，
∴∠OAD＝∠P＝30°，
Rt△AOD中，∠OAD＝30°，OA＝6，
∴AD＝OA•cs30°＝3＝AC，
∴AC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，解直角三角形，掌握切线的性质，垂径定理和直角三角形的边角关系是得出答案的前提．
24. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(，1)，(3，1)，(3，0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为(0，b)，则b的最小值为___．
【答案】﹣
【解析】
【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN
△PAB与△NCA中，∠APB＝∠CMA＝90°，∠PAB＝∠NCA＝90°﹣∠CAN，
∴△PAB∽△NCA，
∴，
设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，
∴，
∴（），
∵﹣1＜0，，
∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，
x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，
∴b的取值范围是﹣≤b≤1．
∴b的最小值是﹣．
故答案是：﹣．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
25. 如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将ADE沿AE翻折至AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝BF时，＝_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．首先证明△AMP是等腰直角三角形，设BF＝2a，则PF＝BF＝a，BM＝MF＝a，利用相似三角形的性质求出FN：EN＝1+，再想办法求出EN（用a表示），即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
由翻折的性质可知，AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，
∴AB＝AF，
∵AM⊥BF，
∴BM＝FM，∠BAM＝∠FAM，
∴∠PAM＝∠PAF+∠FAM＝∠BAD＝45°，
∵∠AMP＝90°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
∴AM＝MP，
设BF＝2a，则PF＝BF＝a，BM＝MF＝a，
∴AM＝PM＝FM+PF＝a+a，
∵∠AMF＝∠AFE＝∠ENF＝90°，
∴∠AFM+∠EFN＝90°，∠EFN+∠FEN＝90°，
∴∠AFM＝∠FEN，
∴△AMF∽△FNE，
∴，
设EN＝PN＝x，则FN＝（1+）x，
∴（1+）x+x＝a，
∴x＝（﹣1）a，
∴EN＝（﹣1）x，
∴＝＝﹣1，
∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，
∴＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满，装修后，市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，假设日租金提高x元．
（1）直接写出装修后日出租房间数y与x的关系式；
（2）不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金的总收入增加多少元？
【答案】（1）y＝﹣x+120；（2）旅馆将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，比装修前日租金的总收入增加240元
【解析】
【分析】（1）根据装修后，市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，可以得到装修后日出租房间数y与x的关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到客房日租金的总收入与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高，比装修前日租金的总收入增加多少元．
【详解】解：（1）由题意可得，
y＝120﹣×6＝﹣x+120，
即装修后日出租房间数y与x的关系式是y＝﹣x+120；
（2）设客房日租金的总收入是w元，
w＝（160+x）（﹣x+120）＝﹣（x﹣20）2+19440，
∴当x＝20时，w取得最大值，此时w＝19440，160+x＝180，
∴比装修前日租金的总收入增加：19440﹣160×120＝19440﹣19200＝240（元），
答：旅馆将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，比装修前日租金的总收入增加240元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数，利用二次函数的性质解答．
27. 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【答案】（1）30°；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，有最小值．
【详解】解：（1）如图1，∵，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE，
Rt△ADE中，AE，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF，
∴EF，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴，
∵MN＝DE，
∴FN，
∴S△CEF；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CHx，EHx，
∴DH＝ax，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2＋EH2
＝+
＝a2﹣ax＋x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BNa，ANa，
∴CN＝BC﹣BNa，
∴EN＝EC＋CNa＋x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2＋EN2
＝+
＝a2＋ax＋x2，
∴（a＞0，x＞0），
∴当时，即x＝a时，有最小值，
则此时，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解题的关键．
28. 如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C1于点E．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，在射线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C2于点P，当CAQ为等腰三角形时，求点P的横坐标；
（3）如图2，将抛物线C1沿一定方向平移，使顶点落在射线AE上，平移后的抛物线C3与线段CB相交于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN的中点时，求抛物线C3的顶点坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）0或4或5；（3）(，)
【解析】
【分析】（1）直接将点A，B，C三点的坐标代入抛物线C1：y＝ax2+bx+c中列方程组，解出可得结论；
（2）根据对称性可得C'（0，﹣），由平移得抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x+，可得∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，分三种情况：①AC＝AQ，②AC＝CQ，③AQ＝CQ，分别计算可得点P的横坐标；
（3）如图4，先根据B（5，0），C（0，），计算BC的解析式为：y＝﹣x+，根据图2计算AE的解析式为：y＝，设D'（n，），则抛物线C3的解析式为：y＝﹣（x﹣n）2+，设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系得：x1+x2＝2n+1，再由中点坐标公式可知：x1+x2＝4，列方程可得n的值，从而计算点D'的坐标．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入抛物线C1：y＝ax2+bx+c中得：
，解得：
∴抛物线C1的表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）∵点C关于x轴的对称点C′，
∴C'（0，﹣），
∵原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣++
∵A（﹣1，0），C（0，），
∴OA＝1，OC＝，
∴AC＝2，
∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，
∵AE平分∠CAO，
∴∠CAQ＝30°；
分三种情况：
①当AC＝AQ＝2时，如图1，设QP交y轴于G，过点Q作QL⊥y轴于L，QH⊥x轴于H，过点G作GK⊥CQ，交CQ的延长线于K，
∴∠ACQ＝∠AQC＝75°，
∴∠OCQ＝45°，
Rt△AQH中，QH＝AQ＝1，AH＝，
∴Q（﹣1，1），
∵CL＝QL＝﹣1，
∴CQ＝QL＝（﹣1），
Rt△CGK中，∠GQK＝180°﹣∠CQP＝180°﹣120°＝60°，
设QK＝m，GK＝m，
∵∠OCQ＝45°，
∴△GCK是等腰直角三角形，
∴CK＝GK，
∴（﹣1）+m＝m，
∴m＝，
∴CG＝KG＝m＝2，
∴G，C'，P三点重合，
∴P（0，﹣）；
②当AC＝CQ时，如图2，∠CAQ＝∠CQA＝30°，
∴∠ACQ＝120°，
∴∠OCQ＝90°，
∴Q（2，），
∵y＝＝﹣（x﹣2）2+，
∴抛物线C1的对称轴是：x＝2，
∴Q在DF上，
延长PQ交y轴于G，
∵∠CQP＝120°，
∴∠GQC＝60°，
Rt△GCQ中，∠CGQ＝30°，
∵CQ＝2，
∴CG＝2，
∴OG＝3，
∴G（0，3），
∴GQ的解析式为：y＝﹣+3，
∴，解得，，
∴P（4，﹣）或（5，﹣2）；
③当CQ＝AQ时，如图3，∠CQA＝120°，此种情况不符合题意；
综上，当△CAQ为等腰三角形时，点P的横坐标是0或4或5；
（3）如图4，∵B（5，0），C（0，），
∴BC的解析式为：y＝﹣+，
当x＝2时，y＝﹣+＝，
∴Q（2，），
如图2，Q（2，），A（﹣1，0）
∴AE的解析式为：y＝，
∵抛物线C3的顶点D'在直线AE上，
设D'（n，），则抛物线C3的解析式为：y＝﹣（x﹣n）2+，
∴y＝﹣（x﹣n）2+＝﹣+，
∴﹣3x2+（6n+3）x﹣3n2+5n﹣10＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2＝2n+1＝4，
∴n＝，
∴D'(，)．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，并与方程相结合解决问题，注意第二问有分情况讨论，不要丢解．