山东省菏泽第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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1. 直线，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线垂直可得出关于的等式，即可得解.
【详解】因为，则，解得或.
故选：D.
2. 在下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B. 过点的直线方程都可以表示为：
C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率；
当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误；
对B：当直线斜率不存在时，不可以用表示，故B错误；
对C：经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，
能用方程表示，故C正确，
对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误.
故选：C.
3. 已知双曲线上焦点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.
【详解】因为知双曲线的上焦点为，
所以可化为，
故.
故选：D
4. 已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.
【详解】圆，其圆心为，半径r=1，则到直线的距离；
设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为，
故的最小值为，即切线长的最小值为.
故选：A.
5. 已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得点关于直线的对称点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，整理化简求得，再结合离心率计算公式求解即可.
【详解】易知点关于直线的对称点为，
根据题意可得：，故可得或，又，故；
则离心率.
故选：D.
6. 直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设，则，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
故选：C
7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果.
【详解】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心
则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
8. 已知过定点的直线与圆C：相交于A，B两点，当线段的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（ ）
A. 11B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的范围，找到为整数的条数即可.
【详解】由已知圆，得
所以圆心为，半径，且
设定点为，易知在圆内，
当与垂直时，，最小为
当经过点时，此时最大为
故，即
又因为，，长为整数
所以当时，直线的条数各为两条，
当时，直线的条数为一条，共条.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于曲线，下面说法正确的是（ ）
A. 若，曲线C的长轴长为4
B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是
C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D. 若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】曲线，
A选项，， ，则，A选项正确.
B选项，若曲线是椭圆，则，
解得且，所以B选项错误.
C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，
解得，C选项正确.
D选项，曲线是椭圆且离心率为，，
由B选项的分析可知且，
当时，椭圆焦点在轴上，，解得；
当时，椭圆焦点在轴上，，解得，
所以的值为或，D选项正确.
故选：ACD
10. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）
A. 若两圆外切，则
B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C. 若两圆的公共弦长为，则
D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.
设圆为圆，圆的圆心为，半径.
.
A选项，若两圆外切，则，A选项正确.
B选项，由两式相减并化简得，
则，
此时，满足两圆相交，B选项正确.
C选项，由两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以，
即，则解得或，C选项错误.
D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，
根据圆的几何性质可知，
所以，D选项错误.
故选：AB
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或1
B. 不存在点为线段的中点
C. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D. 内切圆圆心的横坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由离心率求得，再结合双曲线定义即可判断；对于B，由即可判断；对于C,结合双曲线渐近线斜率即可判断；对于D，结合双曲线定义即可
【详解】对于A，离心率为，解得：，则或1.又因为，故A错；
对于B，假设存在点为线段的中点，则，又，
线段，联立与双曲线，
整理得：，，矛盾，
所以不存在点为中点的弦，故B正确；
对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，直线与双曲线的两支各有1个交点，则直线的斜率，故C正确；
对于的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得：
，
所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据渐近线、焦点以及求得.
【详解】依题意双曲线的渐近线，
由焦点得，
由，解得.
故答案为：
13. 已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是______.
【答案】13
【解析】
【分析】设椭圆左焦点，根据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案.
【详解】由可知 ，，
设椭圆左焦点，则
，
当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立．
的最大值为，
故答案为：.
14. 写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）
【答案】，3，（写出一个即可）
【解析】
【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解.
【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；
当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，
若两直线平行，则，解得.
若两直线不平行时，过点，即，解得或，
此时，不过点，方程组无解.
综上，的取值为.
故答案为：，3，（写出一个即可）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.
（1）求点B的坐标；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知，直线的斜率为，则直线的斜率为1，由，可得直线的方程，直线和直线交点为B，可求出点B的坐标；
（2）设点，根据中点坐标公式，可得点的坐标为，代入所在直线的方程可求出点C所在直线方程，联立所在直线的方程，求出点C的坐标，即可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.
【小问1详解】
因为直线的斜率为，，
所以直线的斜率为1，
又因为，
所以直线的方程为，
联立，解得，
故点B的坐标为.
【小问2详解】
设点，所以.
因为点是边的中点，
所以点的坐标为，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，
即.
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，
即.
16. 已知圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．
【答案】（1）或；
（2）存在，点P的个数为2,理由见解析
【解析】
【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，
（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，
【小问1详解】
由题意圆C：，圆心，半径，
1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；
2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，
则圆心C到直线l的距离，解得，
所以直线l的方程为即
综上，直线l的方程为或；
【小问2详解】
假设圆C上存在点P，设，则C：，
又，
即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.
因为，
所以圆C：与圆相交，
所以点P个数为2
17. 已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F点是抛物线C的焦点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合可求出的值，从而可求出抛物线方程；
（2）由（1）知，，而，化简后可求出其最小值
【小问1详解】
由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立抛物线的方程得：，
恒成立，
设Ax1,y1，Bx2,y2，所以，．
又，
即，所以，即，
所以抛物线C的方程为．
【小问2详解】
由（1）知：，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为10．
18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求弦长MN；
（3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可；
（2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可；
（3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得.
【小问1详解】
由题意，双曲线的焦距为，
则，即，
由，得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的方程为，
联立，即，
设，，
则，，
所以弦长
【小问3详解】
证明：依题意，设直线的方程为，，，
联立，即，
则，
且，，即，
而，，
所以
为定值.
19. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试求△面积的最大值以及此时直线的方程.
【答案】（1）；
（2）最大值为，此时直线l的方程.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，列出a,b,c满足的等量关系，求得a,b,c，则椭圆方程得解；
（2）对直线的斜率进行讨论，在斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理求得弦长和点到直线的距离，即可表达出三角形面积关于参数的函数关系，进而求函数的最大值即可.
【小问1详解】
根据题意可得：，，
又，解得，，，
故椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
①当直线l斜率为零时， 显然不满足题意；
②直线l的斜率不为零， 设其方程为：，
联立椭圆方程：可得：，
设A，B的坐标分别为，，则，，
，
点O到直线AB的距离，，
令，则，故
对函数，，易知在单调递增，
在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；
故△面积的最大值为，此时直线l的方程.
下证：在单调递增.
在上任取，且，
故，
因为，故，，即，
故在上单调递增.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的面积问题；第二问处理的关键是能够利用弦长公式和点到直线的距离公式表达出面积关于参数的函数关系，以及能够利用函数单调性求解函数的最值，属中档题.