2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期期中数学学情调研试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期期中数学学情调研试卷（附解析），共20页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. 2π3D.
【正确答案】D
【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角.
直线的斜率为，
设直线倾斜角为，则
，则.
故选：D．
2. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意得到直线过圆心，将代入直线方程，求出答案.
由题意得直线过圆的圆心，
故，解得，所以圆心坐标为.
故选：A
3. 双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可.
因为双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，解得.
故选：D.
4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，可得，再由四边形周长求出即可得解.
因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，
已知椭圆面积为，则，
又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点，
由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，
则四边形为平行四边形，
因为四边形的周长为12，
由椭圆的定义得，解得，
所以椭圆的短半轴长.
故选：A.
5. 直线与以为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式及弦长公式的逆运用计算半径即可.
易知到的距离为，
所以该圆的半径为，
故该圆方程为.
故选：B
6. 已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可.
设，圆M的半径为r，易知则由题意可知，
即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1，
则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等，
所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即.
故选：B
7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.
由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，
即，
所以，解得，
所以，故，
由，解得，
所以，故C项正确.
故选：C.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】取弦AB的中点D，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出的关系，即可得解．
如图，取弦AB的中点D，连接，则，即，
因，
所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以，
因为，所以OD垂直平分弦AB，
因，，
所以，所以，
由椭圆定义可得，，
所以，解得，，
又，，所以，故，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（）
A. 始终过点B. 若，则或
C. 若，则D. 当时，始终不过第一象限
【正确答案】ACD
【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D.
对于A：直线，即，
令，解得，所以直线过定点，故A正确；
对于B：若，则，解得或，
当时，，，则，
当时，，，即，
则与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D：当时，直线始终过点，斜率，
所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确．
故选：ACD．
10. 抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（）
A. 为定值B.
C. A，O，三点共线D.
【正确答案】AC
【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D.
易知F1,0，准线方程，不妨设，
与抛物线方程联立有，所以，
而，故A正确；
易知，则，
显然，即，故B错误；
易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；
由抛物线定义可知，
由上知，所以，故D错误.
故选：AC
11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（）
A. 曲线C关于对称
B. 曲线C上存在点P，使
C. 直线与曲线C无公共点
D. 点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值
【正确答案】BCD
【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D.
当时，曲线，
表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分，
其渐近线方程为，焦点为，，
当时，曲线，
表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为，
当时，曲线，不表示任何图形，
对于A，因为，
所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误；
对于B，当点在第四象限时，，故B正确；
对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确；
对于D，设，则，
则，故D正确
故选：BCD.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 抛物线的焦点坐标是______.
【正确答案】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为.
13. 设Px0,y0为直线上的动点，若圆上存在两点，，使，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】判断直线与圆的位置关系，当点在圆外时，过点的两条切线所成的以为端点过切点的两条射线形成的角最大，求出此角不小于的的范围.
易知圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相交，
当点在圆及内部时，
显然该圆上存在两点，，使，此时，
当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，
显然是圆上两点与形成夹角中最大的，
则只需即可，此时，则，

综上，即，满足题意，
又，则，解得.
故
14. 已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为______．
【正确答案】
【分析】取的中点，得到为的中点，设Ax0,y0，，根据垂直关系得到直线l的方程，求出和，利用点差法得到，从而得到方程，求出，，从而求出直线方程.
取的中点，连接，
因为，所以，即，
故，即，即为的中点，
设Ax0,y0，则，，
直线l与圆O相切于第一象限的点A，故，所以，
直线l的方程为，令得，
故，故的中点，
设，
则，两式相减得，
化简得，
故，即，
即，，
解得，负值舍去，
又，故，负值舍去，
所以直线l的方程为，即.
故
直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握.
四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程；
（2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标．
【正确答案】（1）和，（2）
【分析】（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解，
（2）根据垂直满足的斜率关系即可求解.
（1）当直线经过原点时，设直线，代入2,3可得，
当直线截距不为0时，设，代入2,3可得，解得
故直线方程为，即，
综上可得直线方程为和
（2）设，
由于直线的斜率为
故，
又，解得则，
故
16. 已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）利用两点距离公式设点坐标化简计算即可；
（2）假设存在，设线设点，利用圆的性质得，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可.
【小问1】
设Mx,y，则，
整理得；
【小问2】
设存在，
联立圆C方程有，整理得，
则Δ=−2b2−4×2b2−2b−7>0x1+x2=bx1x2=b2−2b−72，则，
此时弦PQ为直径的圆过原点，
即
，即，符合题意；
即或.
17. 已知，是椭圆上两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
【正确答案】（1）；
（2）或.
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可.
【小问1】
已知，B2,1是椭圆上两点,
可得，解得：，
所以椭圆C的标准方程为；
【小问2】
设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为，
与椭圆相交的交点坐标分别为，
此时交点弦长，不符合题意，
所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立，
消得：，整理得：，
设交点，则，
则
，
整理得：，
即，
所以直线l的方程为或.
18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左右顶点分别为，．
（1）过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值；
（2）过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
【正确答案】（1）或
（2）为定值
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，分二次项系数是否为零，结合根的判别式即可得解；
（2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再结合斜率公式化简即可得出结论.
【小问1】
直线方程为，
联立，消得，
当，即时，此时方程仅有一个解，
即直线与双曲线C有且只有一个公共点，
当，即时，
则，解得，
综上所述，或；
【小问2】
由题意可设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
，
则，
因为，所以，
则，
所以为定值.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 已知抛物线，Px0,y0为抛物线上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”，设为方程的两个实根，记．
（1）求点的“特征直线”l的方程；
（2）已知点G在抛物线上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与y轴的交点为H，点为线段GH上的点，求；
（3）已知C，D是抛物线上异于原点的两个不同的点，点C，D的“特征直线”分别为，，直线相交于，且与y轴分别交于点E，F．当（其中为点C的横坐标）时，证明：点M在线段CE上．
【正确答案】（1）；
（2）3；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据新定义计算的斜率为2，再由点斜式计算直线方程得到答案.
（2）根据与渐近线垂直得到，线段的方程，得到，代入方程得到，，计算得到.
（3））设坐标，利用新定义计算，方程，联立解得，从而得到所对应的方程为：，计算得到，再根据确定M的横坐标范围即可证明.
【小问1】
由题意的斜率为2，所以点的“特征直线”的方程为，
整理得；
【小问2】
设点，由于双曲线过二、四象限的渐近线的斜率为，
所以，进而得，则直线的方程为，
显然，所以线段方程为
所以满足
所对应方程为：，解得，
因为，所以，进而；
【小问3】
可设，，
则、的方程分别为，，
则，
联立解、交点可得，，
所对应的方程为：，解得，
由，得，
当时，，得，
当时，得，得，
综上的横坐标介于的横坐标与0之间，所以点在线段上.
思路点睛：新定义问题需要多读几遍题目，理清题意，将问题转化为已有经验及所学知识进行处理.