2024-2025学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线y2＝－12x的准线方程是（ ）
A．x＝－3B．x＝3C．y＝3D．y＝－3
3．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．
4．方程的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
5．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
8．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线在轴上的截距为−2
C．直线过定点
D．三条直线交于同一点
10．已知圆与圆，则（ ）
A．过点作圆的切线只有条，则
B．若圆与圆有且只有条公切线，则
C．当时，两圆的一条公切线方程为
D．当时，两圆的公共弦长为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称B．直线与曲线有3个公共点
C．点的纵坐标的取值范围是D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为 .
13．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 .
14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为 ，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
(1)求的标准方程；
(2)若为上一点，且，求的面积.
16．已知圆经过点，且与圆相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为.
(1)若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；
(2)若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率.
18．若动点到点的距离比它到直线的距离小1.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.

①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值；
②记的面积分别为，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】依题意，.
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，
其焦点在x轴负半轴上，且p=6，
则其准线方程为x=3；
故选B．
3．【正确答案】D
【详解】，即，
因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得.
故选.
4．【正确答案】A
【详解】根据，
可得点到点的距离差的绝对值等于，
结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，则，，所以，，
故方程为：，
故选：A.
5．【正确答案】A
【详解】圆的圆心为，半径为.
所以圆的半径为，设圆心为，
则，解得，
所以圆的方程为.
故选：A
6．【正确答案】B
【详解】由题可得，解得，
所以两直线分别为，，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即为定值，所以.
故选：C
8．【正确答案】D
【详解】双曲线对应，，
设，则，
两式相减并化简得，
由于，所以，
而B选项中，点，对应，所以B选项错误.
C选项中，点，对应，所以C选项错误.
A选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，，
所以方程组无解，所以A选项错误.
D选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，
，所以D选项正确.
故选：D
9．【正确答案】BCD
【详解】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.
B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.
C选项，由得，
由，解得，所以定点为，C选项正确.
D选项，由解得，
，所以三条直线过同一点−2,3，D选项正确.
故选：BCD
10．【正确答案】AC
【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上，
则有，因为，解得，A对；
对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，
且，
由题意可得，即，
因为，解得，B错；
对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；
对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为，D错.
故选：AC.
11．【正确答案】ABD
【详解】依题意，曲线，
点都满足方程，
所以曲线关于原点对称，A选项正确.
由消去并化简得，
解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确.
由整理得，
令，则有非负根，
而其对称轴，
所以，，
解得，所以C选项错误.
令，则，代入，
化简得，
由于的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
由解得（负根舍去），
所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.
故选：ABD
12．【正确答案】2
【详解】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上
则且
解之得，（舍）
故
13．【正确答案】
【详解】抛物线的焦点为，
，
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，
即的最小值是，
所以周长的最小值为.
故
14．【正确答案】
【详解】设Px,y，则，
若，则；若，则；
若，则；若，则，
由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），
由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.
椭圆，对应，，
要使椭圆上有且仅有8个点满足，
根据对称性，由方程组有两个解，且，
所以，整理得，
，
解得，
所以.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设椭圆方程为，
所以，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由于，，根据抛物线的定义有：
，整理得，
所以的面积为.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
直线的方程是，所以圆的圆心可设为，
则，则，
半径，
所以圆的方程为.
（2）由，令，解得，
，所以直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于，所以到直线的距离为，
所以，解得，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由消去并化简得，
设，则，
所以.
（2）依题意，双曲线上存在两点，，满足，
设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知，
双曲线对应，
则，依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，
即.
设，则①，②，
由得，
所以③，
由①③解得，代入②得：
，由于，
所以，整理得，解得.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【详解】（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为.
（2）设，则，由于在轴的正半轴，
所以，则，，
设，的方程为，
由，消去得，
，由，
，解得，则，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点0,1.
19．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）依题意，，解得，
所以的方程为.
（2）①设直线的方程为，，
由，消去并化简得，
则，
，则，
所以
.
②由题得，，
又，所以，
由椭圆的对称性可知，
所以，
因为直线的方程为，所以，
因为，所以直线的方程为，
将其代入，解得，
所以，
所以，
令，则，
所以，
函数在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，即，
综上所述，的取值范围是.