2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二（上）学情调研数学试卷（一）（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二（上）学情调研数学试卷（一）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
2.已知直线l过A(2,2 3)，B(4,0)两点，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2,4)的圆的方程为( )
A. x2+(y−1)2=4B. x2+(y−2)2=4
C. x2+(y−3)2=4D. x2+(y−4)2=4
4.若直线x+ay−2a−2=0与直线ax+y−a−1=0平行，则实数a的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
5.设m∈R，则直线l：mx+y−m−1=0与圆x2+y2=2的位置关系为( )
A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交
6.已知两定点A(−3,5)，B(2,8)，动点P在直线x−y+1=0上，则|PA|+|PB|的最小值为( )
A. 5 13B. 34C. 5 5D. 2 26
7.已知A(1,2)，B(−2,0)，过点C(−1,4)的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是( )
A. k>1或k<−4B. −44或k<−1
8.若圆C：x2+y2−12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l：3x+4y+c=0的距离为3，则c的取值范围是( )
A. (−∞,17)B. (−17,13)C. (−13,17)D. (−12,18)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有( )
A. 若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行
B. 若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等
C. 若l1，l2的斜率乘积等于−1，则l1，l2垂直
D. 若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于−1
10.已知直线l：(a2+a+1)x−y+1=0，其中a∈R，则下列说法正确的有( )
A. 当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直
B. 若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
C. 直线l过定点(0,1)
D. 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11.关于圆C：x2+y2−kx+2y+14k2−k+1=0，下列说法正确的是( )
A. k的取值范围是k>0
B. 若k=4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2 3，其方程为12x−5y−16=0
C. 若k=4，圆C与x2+y2=1相交
D. 若k=4，m>0，n>0，直线mx−ny−1=0恒过圆C的圆心，则1m+2n≥8恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y−5=0被圆(x−2)2+(y+1)2=9截得的弦长为______．
13.直线l过点(−2,2)且与直线x+2y=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为______．
14.已知圆C：(x+1)2+(y−1)2=4，若直线y=kx+5上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)．
(1)求△ABC的面积．
(2)求△ABC外接圆的方程．
16.(本小题15分)
已知直线l过点P( 3,−1)，且其倾斜角是直线y=− 3x+1的倾斜角的12．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：2x−y−4=0与l2：x−y−1=0的交点为C，以C为圆心作圆，圆C上的点到x轴的最小距离为1．
(Ⅰ)求圆C的标准方程；
(Ⅱ)过点A(0,3)作圆C的切线，求切线的方程．
18.(本小题17分)
已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，求(x+3)2+(y−13)2的取值范围．
(3)已知A(0,−1)，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B(异于点A)，使得|PB||PA|为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为直线过点A(3,2)且斜率为1，
所以直线的方程为：y−2=x−3，即x−y−1=0．
故选：D．
由直线的点斜式方程直接写出，再化为一般式即可．
本题考查直线方程的求法，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由直线l过A(2,2 3)，B(4,0)两点，可知l的斜率k=0−2 34−2=− 3，
设直线l的倾斜角为α，则tanα=− 3，且0≤α<π，可得α=2π3．
故选：C．
根据A、B两点的坐标，算出直线l的斜率，继而利用斜率与倾斜角的关系算出答案．
本题主要考查直线的斜率公式、直线的倾斜角及其应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题．
设圆心的坐标为(0,b)，根据题意，则有(0−2)2+(b−4)2=4，解得b的值，将b的值代入圆的方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆心的坐标为(0,b)，
则有(0−2)2+(b−4)2=4，
解得b=4，
则圆的方程为x2+(y−4)2=4；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：因为两条直线平行，所以a2=1且(−a−1)×a≠(−2a−2)×1，
解得a=1．
故选：B．
由两条直线平行的充要条件可得a的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由mx+y−m−1=0，可得m(x−1)+y−1=0，
即直线恒过定点(1,1)，
因为点(1,1)满足x2+y2=2，
即定点(1,1)在圆上，
所以直线和圆的位置关系是相交或相切．
故选：C．
求出直线恒过的定点，根据圆心到直线的距离与半径比较即可得答案．
本题考查直线过定点及直线和圆的位置关系，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵两定点A(−3,5)，B(2,8)，动点P在直线x−y+1=0上，
∴点A(−3,5)，B(2,8)P在直线x−y+1=0同侧，
设点A关于直线x−y+1=0的对称点为C(a,b)，
则a−32−5+b2+1=0b−5a+3=−1，解得a=4，b=−2，∴C(4,−2)，
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|= (4−2)2+(−2−8)2=2 26．
故选：D．
推导出点A(−3,5)，B(2,8)P在直线x−y+1=0同侧，求出点A关于直线x−y+1=0的对称点为C(4,−2)，|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．
本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为A(1,2)，B(−2,0)，C(−1,4)，
所以直线AC的斜率kAC=−1，直线BC的斜率kBC=4，
因为直线l过点C(−1,4)与线段AB不相交，
所以kAC即k的取值范围是(−1,4)．
故选：C．
根据A，B，C三点的坐标，写出直线AC、BC的斜率，再由直线l与线段AB无交点，得解．
本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：将圆C的方程化为标准方程为(x−6)2+(y+5)2=36，圆心为C(6,−5)，半径为6，
设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为3x+4y+m=0，
则|m−c| 32+42=3，解得m=c+15或m=c−15，
所以，直线3x+4y+c−15=0、3x+4y+c+15=0均与圆C相交，
所以，|3×6−4×5+c−15|5<6|3×6−4×5+c+15|5<6，解得−13因此，实数c的取值范围是(−13,17)．
故选：C．
求出与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程分别为3x+4y+c−15=0、3x+4y+c+15=0，由题意可知，这两条直线与圆C都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数c的不等式组，即可解得实数c的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：l1，l2斜率相等，则l1，l2平行，故A正确；
l1，l2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B错误；
l1，l2的斜率乘积等于−1，则l1，l2垂直，故C正确；
l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合直线平行、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线的一般式方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
对于A，当a=−1时，直线l的斜率为1，直线x+y=0的斜率为−1，则直线l与直线x+y=0垂直；对于B，若直线l与直线x−y=0平行，则a2+a+1=1，解得a=0或a=−1；对于C，当x=0时，y=1，则无论a取何值，直线l过定点(0,1)；对于D，当a=0时，直线l：x−y+1=0在x轴上的截距为−1，在y轴上的截距为1，则直线l在两坐标轴上的截距不相等．
【解答】
解：直线l：(a2+a+1)x−y+1=0，
对于A，当a=−1时，直线l的斜率为1，直线x+y=0的斜率为−1，则直线l与直线x+y=0垂直，故A正确；
对于B，若直线l与直线x−y=0平行，则a2+a+1=1，解得a=0或a=−1，故B错误；
对于C，当x=0时，y=1，则无论a取何值，直线l过定点(0,1)，故C正确；
对于D，当a=0时，直线l：x−y+1=0在x轴上的截距为−1，在y轴上的截距为1，直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．
故选：AC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的综合应用，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．
将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．
【解答】
解：圆C的标准方程为：(x−k2)2+(y+1)2=k，故A正确；
当k=4时，圆C的圆心(2,−1)，半径为2，
对于选项B，当直线为x=3时，该直线过点M，此时截得弦长为2 3，故选项B不正确；
对于选项C，两圆的圆心距为 (2−0)2+(−1−0)2= 5，
大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；
对于选项D，易得2m+n−1=0，即2m+n=1，m>0，n>0，
∴1m+2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥8，
当且仅当nm=4mn，即n=2m=12时取等号，故正确．
故选：ACD．
12.【答案】4
【解析】解：圆(x−2)2+(y+1)2=9的圆心为C(2,−1)，半径r=3，
则圆心C(2,−1)到直线x+2y−5=0的距离为d=|2+2×(−1)−5| 12+22= 5，
所以弦长为2 r2−d2=2 9−5=4．
故答案为：4．
先根据点到直线的距离求出弦心距，然后利用弦长，弦心距和半径的关系可求得结果．
本题考查直线与圆相交的相交弦长的求法，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：因为直线l过点(−2,2)且与直线x+2y=0垂直，
所以直线l的斜率为2，
所以直线l的方程为：y−2=2(x+2)，即2x−y+6=0，
所以直线l在两坐标轴上的截距分别为−3和6，
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为12×3×6=9．
故答案为：9．
求出直线l的方程，从而求得l在两坐标轴上的截距，再由三角形的面积公式即可求得．
本题考查直线方程的求法，三角形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】{k|k≥0或k≤−815}
【解析】解：由圆的方程可知圆的半径r=2，圆心D(−1,1)，
设两切点为A，B，则|PA|=|PB|，∠APB=60°，所以|PC|=4，
因此只要直线l上存在点P，使得|PC|=4即可满足题意，圆心C(−1,1)，
所以圆心到直线的距离d=|−k−1+5| k2+1≤4，解得k≥0或k≤−815，
所以k的取值范围为：{k|k≥0或k≤−815}.
故答案为：{k|k≥0或k≤−815}.
根据切线夹角分析出|PC|=4，由圆心到直线的距离不大于4，列出不等式求解可得．
本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)，
所以|AB|= (4−1)2+(2−1)2= 10，|AC|= (3−1)2+(0−1)2= 5，
|BC|= (4−3)2+(2−0)2= 5，
可得|AB|2=|AC|2+|BC|2，即该三角形为等腰直角三角形，
所以S△ABC=12|AC|⋅|BC|=12⋅ 5⋅ 5=52；
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以1+1+D+E+F=016+4+4D+2E+F=09+3D+F=0，解得D=−5，E=−3，F=6，
所以△ABC的外接圆的方程为：x2+y2−5x−3y+6=0．
【解析】(1)由△ABC的顶点坐标，求出三边的长，进而判断出三角形的形状；
(2)设圆的一般方程，将点A，B，C的坐标代入，可得参数的值，即求出圆的方程．
本题考查三角形外接圆的求法及三角形形状的判断，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵直线的方程为y=− 3x+1，
∴斜率k=− 3，倾斜角α=120°，
故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为tan60°= 3，
∵直线l经过点( 3,−1)，
∴所求直线l方程为y+1= 3(x− 3)，
即 3x−y−4=0．
(2)∵直线m与l平行，可设直线m的方程为 3x−y+c=0，
∴| 3× 3+1+c| ( 3)2+12=3，即|4+c|=6，
∴c=2或c=−10，
∴所求直线m的方程为 3x−y+2=0或 3x−y−10=0．
【解析】(1)根据直线的斜率求出直线的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程．
(2)设直线m的方程为 3x−y+c=0，根据点P到直线m的距离为3，求出c的值，可得结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的点斜式方程，两直线平行的判定及应用，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，联立方程组2x−y−4=0,x−y−1=0,解得C(3,2)．
设圆C的半径为r，由题意知2−r=1，所以r=1，
故圆C的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=1．
(Ⅱ)过点A(0,3)作圆C的切线，切线的斜率必存在．
设切线方程为y=kx+3．
由题意d=r，即|3k+1| k2+1=1，
解得k=0或k=−34．
故所求的切线方程为y=3或3x+4y−12=0．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．
(Ⅰ)根据题意，联立方程组2x−y−4=0x−y−1=0，解可得C的坐标，进而由直线与圆的位置关系可得r的值，结合圆的标准方程的形式分析可得答案；
(Ⅱ)根据题意，设切线方程为y=kx+3.进而可得d=r=|3k+1| k2+1=1，即可得k的值，代入直线的方程即可得答案．
18.【答案】解：(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，
由{x+2=0y=1，解得x=−2y=1,
故无论k取何值，直线l总过定点(−2,1)；
(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1，
则直线l在y轴上的截距为2k+1，
且直线l总过定点(−2,1)，
故要使直线l不经过第四象限，
则k≥01+2k≥0，解得k≥0；
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，
∴A−1+2kk,0，B(0,1+2k)．
又−1+2kk<0且1+2k>0，
∴k>0，
故S=12OAOB=12×1+2kk1+2k=124k+1k+4≥124+4=4，
当且仅当4k=1k，即k=12时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．
【解析】本题主要考查直线方程的应用，考查了直线过定点问题、直线在坐标系中的位置以及基本不等式的应用，属于中档题．
(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，可得直线l过定点(−2,1)；
(2)由题意，可知直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，组成不等式组，解出k的取值范围即可；
(3)先求出直线l在两个坐标轴上的截距，根据三角形的面积公式，应用基本不等式可求得△AOB面积的最小值，即可求出此时直线l的方程．
19.【答案】解：(1)依题可设圆心坐标为(0,b)(b>0)，
则圆C的方程为x2+(y−b)2=649，
因为直线12x−9y−1=0与圆C相切，
所以点C(0,b)到直线l2x−9y−1=0的距离d=|−9b−1| 122+92=83，
因为b>0，解得b=133，
故圆C的标准方程为x2+(y−133)2=649；
(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，

则(x+3)2+(y−13)2表示圆上任意一点到点D(−3,13)距离的平方，
所以(x+3)2+(y−13)2的最大值为|DB|2=(|DC|+r)2=( (0−3)2+(133−13)2+83)2=(5+83)2=(233)2=5299；
(x+3)2+(y−13)2的最小值为：|DA|2=(|DC|−r)2=( ( 0−3)2+(133−13)2−83)2=(5−83)2=(73)2=499．
所以(x+3)2+(y−13)2的取值范围为：[499,5299]；
(3)假设存在定点B，设B(0,m)(m≠−1)，P(x,y)，
则x2=649−(y−133)2=−y2+263y−353，
则|PB||PA|= x2+(y−m)2 x2+(y+1)2= −y2+263y−353+(y−m)2 −y2+263y−353+(y+1)2= m2−353+(263−2m)y −323+323y，
当m2−353−323=263−2m323>0，
即m=3，m=−1(舍去)时，|PB||PA|为定值，且定值为12，
故存在定点B，且B的坐标为(0,3)．
【解析】(1)由题意设圆心坐标为(0,b)(b>0)，可得圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案；
(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，则(x+3)2+(y−13)2表示圆上任意一点到点D(−3,13)距离的平方，画出图象，可知最大值为|DB|2=(|DC|+r)2，最小值为|DA|2=(|DC|−r)2，然后求解取值范围即可；
(3)设B(0,m)(m≠−1)，P(x,y)，分别表示出|PB|，|PA|，由|PB||PA|为定值得出答案．
本题考查了直线与圆的位置关系、数形结合思想，考查了点到线的距离公式及两点间距离公式，属于中档题．