2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期11月适应性数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期11月适应性数学检测试卷（附解析），共31页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，且，则（）
A. B.
C. 或D.
【正确答案】D
【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合.
因为，可知，
若，则，
此时，，不合题意；
若，则，
此时，，符合题意；
综上所述：，，则.
故ABC错误，D正确.
故选：D.
2. 若复数z满足，则z的一个可能值是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知结合复数的模长公式及共轭复数的概念即可求解.
设，则，
由，得，即，整理得，
显然选项ACD不满足要求，B符合要求.
故选：B
3. 已知向量满足，则的最小值是（）
A. 0B. 2C. D. 5
【正确答案】D
【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可.
不妨设，则，
则，且，
则，
当时，.
故选：D.
4. 已知，是函数的零点，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式变形，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切.
因为，是函数的零点，
所以，，
所以
.
故选：B
5. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】考虑在正方体的截面中最大两个互相平行的三角形截面，若液面与此面平行时，必在这两个面之间，由此可得结论．
解：如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为，则，而，，所以液体的体积的取值范围为.
故选：B.
本题考查正方体的截面的性质，掌握正方体的截面形状是解题关键．本题考查空间想象能力．
6. 已知函数的图象关于直线对称，则（）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【正确答案】B
【分析】利用的图象关于直线对称，可知向左平移个单位为偶函数，再利用恒成立,知对应待定系数相等，即可解决问题.
依题意，为偶函数，
当时，，
由可知，
解得，所以.
故选：B
7. 已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项.
因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，
所以，
所以，
又，且，解得，
又因，
所以，解得，
当时，符合题意，
当时，，符合题意，
所以.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（）
A. 651B. 676C. 1226D. 1275
【正确答案】A
【分析】由条件可以推出，结合，即可求解.
由，
所以，
即，
所以
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（）
（已知：）
A. 随机变量的标准差为B. 随机变量
C. D.
【正确答案】BC
【分析】由题意可得随机变量，即可判断AB选项，根据题中数据结合正态分布性质求，，即可判断CD.
由题设可知，，则随机变量，
可得随机变量的标准差为，可得A错误，B正确；
因为
，即C正确；
易知，即D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 当时，
B. 当时，
C. 若是增函数，则
D. 若和的零点总数大于2，则这些零点之和大于5
【正确答案】ABD
【分析】直接代入即可判断A，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断B，由在上恒成立，利用导数求出，即可求出的取值方程，即可判断C，首先说明，得到在和上各有一个零点，，利用对数均值不等式得到，即可得到，再说明在和上各有一个零点、且，最后利用基本不等式证明即可.
对于A：当时，
则，
，
所以，故A正确；
对于B：，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，，故B正确；
对于C：在上恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，故C错误；
对于D：因为，即为的一个零点，
当时，有且仅有一个根，此时在上单调递增，
所以和都只有个零点，不符合题意；
当时，则无零点，只有一个零点，不符合题意；
当时在和上各有一个零点，，
所以，所以，所以，
所以，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，，
所以在和上各有一个零点、，
又，
所以，
所以，故D正确.
其中：不等式的证明如下：
要证，只需证，令，只需证，，设，，
则，可得在上单调递减，
∴，得证.
故选：ABD
方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 对任意，直线与曲线有唯一交点
C. 对任意，恒有
D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
【正确答案】ACD
【分析】将，替换为，计算即可判断A；取，可判断有三个交点即可判断B；利用函数的单调性来得出的取值范围，再结合的单调性进行求解即可判断C；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D．
A．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确；
B．取，可以求得，，均可，故B错误；
C．由，，函数，故，
令，解得：，在，时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，所以，
又因为是增函数，，所以有，故C正确；
D．当时，，又，
，所以．
曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，
则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________.
【正确答案】
【分析】由题意求出，结合双曲线定义以及角平线性质推出，从而推出，在中，利用余弦定理可求得，结合齐次式求解离心率，即可得答案.
由题意知，轴，故将代入中，
得，则，即，
不妨设P在双曲线右支上，则，故；
设为的平分线，由题意知，
则，即，而，
故，
由点在圆上，得；
又，则，
在中，,
即，结合，
即得，即，
解得或（舍），故（负值舍去），
即的离心率为，
故答案：
关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在中，利用余弦定理求出的关系，化为齐次式，即可求得答案.
13. 已知为函数图象上一动点，则的最大值为_______.
【正确答案】
【分析】先观察函数得到函数关于直线关于对称，再验证当时的值比时要大，所以只研究时的值，对所求代数值进行化简后换元，适当变形后转化为符合函数问题，其中内函数为两点斜率问题，借助导函数的几何意义即可求出函数的最值.
令函数，
∵，∴关于对称，
令
当，则时，
∵，∴，
即时的函数值大于时的函数值，
当时，，
令，则，
令，则，
∵，即表示过曲线上一点与点的直线的斜率，
设过点的切线与函数相切于点（），
，
∴，整理得，
∴或，由∵，∴，故，
此时切线的斜率，
即，
由∵由双勾函数在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴
∴，
故，
故
方法点睛：本题探讨函数的最值问题，有以下几个关键点：一、有绝对值想办法去掉绝对值符号；二、代数的化简；三、转化为曲线上一点与曲线外一点求斜率的最值.
14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可.
】由题意构造，，
则有，，，．
因为，恒成立，
又的概率为0.5，
所以必有或者解得．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知中，，内一点满足．
（1）若，且满足，，求的正切值；
（2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）存在，
【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出；然后在中，应用余弦定理以及三角形面积公式，化简得到：，同理在，，内得到，从而得到，即可求解.
（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式，平分，将代入，化简整理可求解.
【小问1】
（1）若，即，得，
点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，即，
所以；
在中，，
因为，
所以
在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
，
，
三式相加可得：。
在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
在，内，同理可得：
，
，
三式相等：，
因为点在内，则
由等比性质的：，
所以：，
又，，
所以，
则
【小问2】
因为，
即，
所以，
在，，中，
分别由余弦定理可得：，
，
，
三式相加整理得：，即，
因为平分，则，，
所以，
由余弦定理可得：，
所以，
即，则，
所以若平分，存在常实数，使得
（1）边角关系转化时注意利用余弦定理；
（2）在解三角形中注意利用几何图形的几何性质；
（3）在三角变换中，注意根据三角函数式的特征选择合理三角变换公式.
16. 将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为．记，，过点的直线与交于不同的两点，直线与分别交于点．设直线的倾斜角分别为，．当时，
（1）求的值：
（2）若有最大值，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，表示出坐标，再结合三点共线，得到等量关系，再利用斜率公式即可求得的值.
（2）设直线的方程为，得到直线的斜率为，求得的表达式，利用基本不等式求得最小值和最小值时的值，再联立方程组，由判别式大于0，解得，从而求出的取值范围
【小问1】
设曲线的点为，由题意可知点在上，
即，整理得，即曲线：，
设直线的方程为y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，，，
联立方程组，整理得，
则Δ=−4k22−4λ+2k22k2−2λ>0，且，，
可得，∴，
可得，
∴，同理可得，
又∵三点共线，可得，
即，
∴，
∴
【小问2】
设直线方程为（），由（1）可知，，
则，当且仅当，即时取等号，
联立方程组，整理得，
则Δ=8k22−4λ+2k28k2−2λ>0，解得，若由最大值，则，
又∵，∴
思路点睛，本题探讨直线与椭圆的位置关系，常见思路：设直线方程，联立方程后整理成一元二次方程，由判别式建立不等式求出取值范围；用韦达定理得出对应点的坐标，利用点之间的关系建立等式，从而求得结果.
17. 斜三棱柱ABC－A1B1C1上，侧面AA1C1C⊥平面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，A1C＝AC＝BC＝，AB＝2，D为BB1的中点．
（1）求二面角C－A1D－C1的余弦值；
（2）记△ABC的外接圆上有一动点P，若二面角P－AA1－C与二面角C－A1D－C1相等，求AP的长．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，求法向量，求向量夹角公式，可得答案；
（2）由题意，找出二面角的平面角，采用平面的思想，找出在平面内的直线，根据弦长公式，可得答案.
【小问1】
取的中点为，连接，
在菱形中，，则，
在三棱柱中，，故，
平面平面，平面平面，平面，
由，，，即，则，
以为原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图：
则，，，，，
故的中点，
在平面内，取，，
设平面的法向量为，则，即，化简得，
令，则，故平面的一个法向量，
在平面内，取，，
设平面的法向量为，则，即，化简得，
令，则，故平面的一个法向量，
.
由图可知，钝二面角的余弦值为.
【小问2】
由题意，取的中点，连接，延长与轴交于，
连接，在等边中，易知，
平面，平面，，
，且，平面，平面，
平面，，
故为二面角平面角的补角，
由二面角的余弦值为，可得二面角的余弦值为，
故，在中，，
在平面内，直线的方程为，
在的外接圆中，易知圆心为，则弦心距，
根据弦长公式，可得，
故此时
18. 若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
（1）设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
（2）若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
（3）设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用两曲线在处有公切线可得出方程组，求出的表达式，然后由可得，求出方程的三个解，即可得出结论；
（2）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，利用已知条件可得出关于的方程组，通过换元法以及构造新函数可求得的值.
（3）设函数，其中且，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
【小问1】
对函数求导可得，对函数求导可得，
所以，可得，又，所以；
代入可得，即，
此时令可得，它的另一个解为，
所以方程可化为，
解得，
因此方程的三个解为，
所以函数与恰有两个公共点分别为
【小问2】
对指数函数求导可得，对函数求导，
设指数函数与对数函数在处有相同的切线，
由题意可得，
令，原方程组可等价为，即可得；
而，即可得，
所以，即，所以，则；
由可得，化简可得；
所以，
因为时，指数函数为单调递减函数，则，
故，即；
构造函数，
则，且不恒为0，
所以函数在上单调递增，且，
故方程的唯一解为；
因此，即实数的值为.
【小问3】
设函数，其中且，
求导可得，
令，则，
令可得，
由ℎ'x