2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期12月月考数学质量测试试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期12月月考数学质量测试试题（附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则
A．B．C．D．
3．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为
A．1B．C．3D．4
4．在锐角三角形ABC中，，则的范围是
A．B．C．D．
5．已知三棱锥满足，，，且其表面积为24，若点（正投影在内部）到，，的距离相等，则三棱锥的体积为
A． B． C． D．
6．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是
A．B．C．D．
7．已知函数，则函数的零点个数为
A．9B．10C．11D．12
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．判断下列命题中正确的有
A．对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
D．设随机变量ξ服从正态分布，若，则
10．已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是
A．曲线C不存在点P，使得
B．曲线C关于原点对称
C．直线与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 .
13．已知函数（为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e,1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是_____.
14．某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场．记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求周长的最大值；
（2）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
16．（15分）
已知椭圆离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，设直线、的斜率分别为、．已知面积的最大值为2，且过定点．
（1）设和的面积分别为、，求的最大值；
（2）求证：为定值，并求出该定值．
17．（15分）
在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设
，．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
18．（17分）
已知函数．
（1）是否存在实数a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是．
①求证：；
②求证：．
19．（17分）
已知数列P为有穷正整数数列．若数列P满足如下两个性质，则称数列P为m的k减数列：
①；②对于，使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在m的6减数列，证明：；
（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.
数学答案和评分标准
注：解答题如有不同解题过程，酌情给分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
（1）由和正弦定理，三角形面积公式得，，因，故得，，
由余弦定理，，因，则；···················3分
由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；··············6分
（2）由可得，
由正弦定理，，即得，，,·············8分
则
,················10分
由为锐角三角形可得，，解得，·····················11分
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.·········································13分
16．（15分）
（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为，
由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.·············3分
设点Px1,y1、Qx2,y2.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合题意.·······················4分
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，
联立可得，，
由韦达定理可得，，··································6分
所以，
，················8分
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.····10分
（2）由（1），，
所以······················12分
，
即为定值，定值为.··························································15分
17．（15分）
（1）如图建立空间直角坐标系，设，则，
（0＜x＜4，z>0）
因为，所以，
所以，，，，，·····2分
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，······5分
因为，所以，所以平面平面；·······7分
（2）设平面的法向量为，则，取，····8分
设二面角的平面角为，
所以，···········10分
所以，即，
解得或（舍），则，··············································12分
所以，即，又，所以.·······15分
18．（17分）
（1）由题意知，则，
当时，f′x>0，在上单调递增，没有最小值；
当时，令，则（负值舍去），
当时，f′x0，在上单调递增；··················2分
故当时，取最小值，·
即，解得，
故存在实数使得在上有唯一最小值；··························4分
（2）①因为，令，即得，
由题意知的两个零点是，即，
则，则，··········································6分
要证，即证，即，即证，即，
由于，故，即证，即证，···············8分
令，设，则恒成立，
即在1,+∞上单调递增，且，故，即成立，
故；···································································10分
②由于，令，则，令，
当时，ℎ′x0，在上单调递增，
故，·············································12分
函数有两个不同的零点，即的两个零点是，
则，由于，故，
函数在处的切线方程分别为，
且在内，在内，
先证：，即，即，令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，故，···············15分
再证：，即，
令，则恒成立，
即在单调递减，则，令，则可设；令，则，
则可得，即.······················17分
19．（17分）
（1）由题意得，则或，
故所有4的1减数列有数列和数列3，1.······································2分
（2）因为对于，使得的正整数对有个，
且存在的6减数列，所以，得.·····································4分
①当时，因为存在的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以.
②当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.
③当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.
综上所述，若存在的6减数列，则.········································8分
（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列存在大于1的项，
若末项，将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，所以.
当时，若，交换的顺序后变为，所以此时不是最大值，所以.·····································································10分
若，所以，所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，
所以此时不是最大值，所以.········································12分
若数列P中存在相邻的两项，设此时P中有项为2，将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为，所以此时不是最大值，
所以数列P的各项只能为2或1，所以数列P为的形式.················14分
设其中有项为2，有项为1，
因为存在2024的减数列，所以，
所以，··························16分
所以，当且仅当时，取最大值为.
所以，若存在2024的减数列，的最大值为.·····························17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
D
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
ACD