中考数学专题训练：猜想与证明压轴题（含简单答案）

这是一份中考数学专题训练：猜想与证明压轴题（含简单答案），共12页。试卷主要包含了在中，的平分线交边于点D，【问题情境】，问题情境等内容，欢迎下载使用。

(1)如图1，求证：；
(2)点M是边的中点，连接．
①如图2，若点A，P，M三点共线，则与的数量关系是___________．
②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．
2．在中，的平分线交边于点D．
(1)如图1，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：；
(3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
3．以四边形的边，为边分别向外侧作等边和等边，连接，，交点为G．
(1)当四边形为正方形时（如图1），直接说出和有什么数量关系．
(2)当四边形为矩形时（如图2），和具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出的度数．
4．如图，中，，，若点E为射线上一动点，连接AE，将线段AE绕着点A逆时针旋转得到AF．
(1)如图1，当点E在线段CB上运动时；
①若，则_______ (直接写出答案)；
②过F点作交AC于点，求证：；
(2)当E点在射线CB上，（如图2）连接BF与直线AC交于G点，若，求的值．
5．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
6．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
7．问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图，和都是等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且．连接CF、EF．
(1)试判断AD与CF的数量关系，并说明理由；
(2)求证：四边形CDEF是平行四边形．
(3)如图2，四边形ABCD和四边形DEGH都是正方形，F、H分别是AD、AB上的点，且，连接CF、EF，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
拓展延伸：
(4)如图3，四边形ABCD和四边形DEGH都是菱形，，，F是AD上一点，连接CF、EF延长H交DC于M，若四边形CDEF是平行四边形，请直接写出AM的长．
8．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，，，与交于点．
(1)若DE=2，求证：AE//CF．
(2)如图2，连接AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长．
(3)如图3，连接BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF的面积．
9．正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
(1)如图1，当点E与点A重合时，______；
(2)如图2，当点E在线段AD上时，．
①求点F到AD的距离； ②求BF的长；
(3)若，请直接写出此时AE的长．
10．在学习完“图形的旋转”后，某数学兴趣小组做了如下探究ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．将DEF绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CM相交于点Q．
(1)问题提出：如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，BPE和CQE是否全等．如果全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由．
(2)问题解决：如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，BPE和CQE是否有存在与第（1）问相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系．当BP＝a，CQa时，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
11．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．
(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)当绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．
(3)当AC＝5时，在绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．
12．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，
①连结NG，求线段NG的长；
②连结ND，求∠DNG的大小．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．
13．已知，在中，，，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积．
14．折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DFBE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
15．如图，在中，，点D为边所在直线上的一个动点（不与点B､C重合），在的右侧作，使得，连接．
（1）求证：；
（2）当点D为线段的中点时，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）探究与的数量关系，直接写出其结果_______．
16．自主探究：
在中，，，点D在射线上（与B、C两点不重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线的异侧，射线与直线相交于点G．
（1）当点D在线段上时，如图（1），判断：线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）当点D在线段的延长线上时，如图（2），写出线段与线段的数量关系与位置关系，不必证明；
（3）在（2）的基础上，随着点D位置的变化，当G为中点，时，求出正方形的边长．
17．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 ；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．
18．综合与实践：
如图1，已知为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，，连接DC，P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是________，的度数是________；
（2）探究证明
若把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，再连接BE，取BE的中点N，连接PN、QN．
①判断四边形PMQN的形状，并说明理由；
②求的度数；
（3）拓展延伸
当，，，把绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①四边形PMQN为_________；
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．
参考答案：
1．(2)①；②成立，
2．(3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：，
3．(1)EB＝FD
(2)EB＝FD，
(3)∠EGD不发生变化，仍然是60°．
4．(1)①60°
(2)或
5．(1)，
(2)①结论：，，②
(3)
6．(1)，
(2)①；②，
7．(1)，
(3)四边形CDEF为平行四边形，
(4)
8．(2)或
(3)或或
9．(1)
(2)①3；②
(3)AE的长为1或
11．(1)；
(2)成立；
(3)或
12．（1）①；②；（2）的大小是定值
13．（1），；（2）成立，（3）
14．（1）②；（2）在坐标平面内存在点或或或使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形．
15．（2）DE⊥AC，（3）∠DAE+∠DCE=180°或∠DAE=∠DCE
16．（1），；（2），；（3）
17．（1）AP=BE；（2）成立；（3）
18．（1），；（2）①四边形PMQN为菱形，；②；（3）①正方形；②