2025高考数学一轮复习-第3章-一元函数的导数及其应用-第7讲 利用导数研究函数的零点问题值【课件】

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课程标准　研究函数零点的个数或范围、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题．
数形结合法研究函数零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数．若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
(2024·河南郑州质检)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的零点个数．
解：(1)f(x)＝ex－ax＋2a，定义域为R，且f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，当x0，f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
利用函数性质研究函数零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．①若a＝0，显然不满足．②若a＞0，则当x∈(－1，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，此时g(x)和h(x)在(－1，0)上无交点．③若a＜0，则当x∈(－1，1)时，h′(x)＞0，h(x)在(－1，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(ⅰ)当x→＋∞时，h(x)→0，g(x)→＋∞，且g(0)＝h(0)＝0，要满足g(x)和h(x)的图象在(0，＋∞)上有一个交点，需g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1；(ⅱ)当x＝－1时，h(－1)＝ae，当x→－1时，g(x)→－∞，且g(0)＝h(0)＝0，要满足g(x)和h(x)的图象在(－1，0)上有一个交点，也需要g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1).
构造函数法研究函数零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x ln x－ax2(a∈R).若f(x)在定义域内有2个零点，求a的取值范围．