2024-2025学年云南省丽江市玉龙纳西族自治县高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省丽江市玉龙纳西族自治县高一上册12月月考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，函数的所有零点之和为，函数的大致图象为，下列结论错误的是，已知，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：必修第一册.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
4．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ）
A．9分钟B．10分钟
C．11分钟D．12分钟
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论错误的是（ ）
A．集合的真子集有8个
B．设是两个集合，则
C．与角的终边相同的角有无数个
D．若，则
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为2
12．定义：在平面直角坐标系中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数和函数互为“原形函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用弧度制表示为 ．
14．已知，则 .
15．已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
16．设函数，其中．，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（1）解方程：．
（2）求值：．
18．已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
19．设（，且）.
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数的值域.
20．已知函数的图象的一条对称轴是.
(1)求的单调减区间；
(2)求的最小值，并求出此时的取值集合.
21．已知．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
22．设，已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.
1．C
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.
【详解】原命题的否定为，.
故选：C.
2．C
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，故或，
所以的定义域为.
故选：C.
3．D
【分析】依题意与为一元二次方程的两根，利用韦达定理得到方程组，求出、的值，再代入计算可得；
【详解】解：因为不等式的解集是，所以与为一元二次方程的两根，
所以，解得，故．
故选：D
4．A
【分析】先根据角的终边，可求出，再利用诱导公式化简求解出结果.
【详解】由角的终边经过点，利用三角函数的定义求出
，
所以，
故选：A
5．B
【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断，进而比大小.
【详解】因为，，，
故，所以.
故选：B.
6．A
【分析】令，根据分段函数解析式，求出方程的解，即可得到函数的零点，从而得解.
【详解】解：因为，
当时，由，解得（舍去）或，则；
当时，由，解得，满足题意，
所以函数有个零点分别为和，所以函数的所有零点之和为.
故选：A
7．D
【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答.
【详解】由，得，即函数的定义域为，
显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；
当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足.
故选：D
8．B
【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，
所以，
又水温从75℃降至45℃，所以，即，
所以，
所以，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据真子集的定义判断A；根据集合间的基本关系判断B；根据终边相同角的定义判断C；满足得，判断D.
【详解】对于A，集合的真子集有（个），所以A选项错误；
对于B，对于集合，若，所以B选项错误；
对于C，与角的终边相同的角用集合可以表示为，
这样的角有无数个，所以C选项正确；
对于D，若，则，所以不一定等于，故D选项错误．
故选：ABD.
10．ABD
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；
对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可；
对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，由选项A知，
因为，所以，故，
所以，即，故B正确；
对于C，由选项B可知，，，所以，
因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可.
【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
当时，，故B错误；
，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】根据原形函数的定义，结合图象变换的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项A，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项A正确；
对于选项B，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项B正确；
对于选项C，，函数的图象向上平移5个单位长度才能得函数的图象，可知C选项错误；
对于选项D，由，函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，因此D选项正确，
故选：ABD
13．##
【分析】利用弧度制与角度值的转化即可得到答案.
【详解】因为弧度，所以（弧度）．
故
14．12
【分析】通过配凑得，再代入值即可得到答案.
【详解】，则，
则.
故12.
15．
【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出.
【详解】解可得，即，
因为，所以，解可得，
即.
设，，
因为若是的必要不充分条件，所以，
所以有，且不能同时取等号，所以.
故答案为.
16．##
【分析】先由得到或，又由得到关于对称，从而得到，分类讨论的取值情况，结合的取值范围即可求得的最小值.
【详解】因为，，
所以，则或，，
因为，且，
若要使最小，则结合正弦函数的对称性可知关于对称，
所以，则，，
当时，，则，其中，，
因为，所以，则，又，
所以，则，故；
当时，，则，其中，，
因为，所以，则，又，
所以，则，故；
综上.
故答案为.
关键点睛：本题通过，则或，，再利用得到函数关于对称，从而将点代入函数解析式得，则得到，，最后对或，分类讨论即可.
17．（1）；（2）7.
【分析】（1）根据对数与指数的互化求解即可；
（2）根据指数的运算性质计算求解.
【详解】（1）由指数与对数的互化得，解得，经检验，符合题意．
（2）原式．
18．(1)
(2)．
【分析】（1）将代入集合，并化简，再根据并集的运算求解即可；
（2）根据，列出不等式组，即可求出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以．
因为，
所以．
（2）因为，所以，或，
解得．
故的取值范围为．
19．(1)，
(2)①当时，函数的值域为，②当时，函数的值域为.
【分析】（1）根据求得，根据函数定义域的求法求得的定义域.
（2）先求得的定义域，结合二次函数的知识求得的值域.
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，
所以的定义域需满足，
解得，即函数的定义域为.
（2），
由，根据二次函数的性质可得，
①当时，在上递增，函数的值域为，
②当时，在上递减，函数的值域为.
20．(1)
(2)最小值是，此时的取值集合是
【分析】（1）由题意可得，再结合可求得，从而可求得，然后由可求出的单调减区间；
（2）由正弦函数的性质可得当时，，由此可求出的取值集合.
【详解】（1）因为的图象的一条对称轴是，
所以，
解得，又，所以，
所以，
令，
解得，
所以的单调减区间是；
（2）当时，，
令，
解得，
所以的最小值是，此时的取值集合是.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合三角函数商式关系式，求得正切值，根据正弦与余弦的二倍角公式以及平方关系式，可得答案；
（2）根据二次方程以及正切的和角公式，结合角的取值范围，可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，
所以.
（2）因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，由，得，
所以．
22．(1)或1
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值；
（2）由（1）知，当时，得，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；
（3）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.
【详解】（1）由函数为奇函数，有，有，
有，
有，有，得.
①当时，，定义域为，，符合题意；
②当时，，定义域为，
，符合题意.
由上知或1；
（2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增.
设上任意两个实数，，且.
，
而，，，
∴，即得证，则在上单调递增；
（3）由知，由知，所以，
由（2）知在上单调递增，结合题意有
得，即m，n是的两个不同实根，
令，则在上有两个不同实根，
有可得，
故实数的取值范围为.