2023-2024学年云南省丽江市玉龙一中高一（上）月考数学试卷（12月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年云南省丽江市玉龙一中高一（上）月考数学试卷（12月份） （含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2＜1﹣2xB．∀x∈R，x2≤1﹣2x
C．∃x∈R，x2≤1﹣2xD．∃x∈R，x2＜1﹣2x
2．函数的定义域为（ ）
A．[0，2]B．[1，2]
C．[0，1）∪（1，2]D．（0，1）∪（1，2）
3．已知不等式2ax2﹣bx+4＞0的解集是（﹣1，1），则ab+1的值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣2
4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则cs（π+α）的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，b＝，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
6．函数f（x）＝的所有零点之和为（ ）
A．7B．5C．4D．3
7．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A．9分钟B．10分钟C．11分钟D．12分钟
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．下列结论错误的是（ ）
A．集合{1，2，3}的真子集有8个
B．设M，N是两个集合，则M∪N＝M⇔M⊆N
C．与角的终边相同的角有无数个
D．若sinθ＝1，则
（多选）10．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为2
（多选）12．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数y＝f（x）和函数y＝g（x）互为“原形函数”的是（ ）
A．f（x）＝sinx，g（x）＝cs（﹣x）
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．480°用弧度制表示为 ．
14．已知f（2x）＝4x﹣1，则f（4）﹣f（2）＝ ．
15．已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
16．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0.，且，则ω的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（1）解方程：lg2[lg3（3x﹣6）]＝1．
（2）求值：．
18．已知非空集合A＝{x|3﹣a＜x＜3a+1}，．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围．
19．设f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）＝3，求实数a的值及函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
20．已知函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．
21．已知．
（1）求sin2α﹣cs2α的值；
（2）已知，求α+β的值．
22．设a∈R，已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的值域是[k•2m，k•2n]（k∈R），求k的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2＜1﹣2xB．∀x∈R，x2≤1﹣2x
C．∃x∈R，x2≤1﹣2xD．∃x∈R，x2＜1﹣2x
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．
解：原命题的否定为∃x∈R，x2≤1﹣2x．
故选：C．
2．函数的定义域为（ ）
A．[0，2]B．[1，2]
C．[0，1）∪（1，2]D．（0，1）∪（1，2）
【分析】若函数f（x）有意义，需满足根号下非负，0次幂，底数不能为0．
解：若函数f（x）有意义，需满足x（2﹣x）≥0，且x≠1，
即0≤x≤2，且x≠1，即[0，1）∪（1，2]．
故选：C．
3．已知不等式2ax2﹣bx+4＞0的解集是（﹣1，1），则ab+1的值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣2
【分析】根据题意，分析可得2ax2﹣bx+4＝0的根为﹣1和1，由根与系数的关系可求得a，b的值，即可求得ab+1的值．
【解答】根据题意，不等式2ax2﹣bx+4＞0的解集为（﹣1，1）．
则2ax2﹣bx+4＝0的根为﹣1和1，
由韦达定理得，解得a＝﹣2，b＝0，
∴ab+1＝（﹣2）1＝﹣2．
故选：D．
4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则cs（π+α）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据角α的终边，可求出csα，再利用诱导公式化简求解出结果．
解：由角α的终边经过点P（﹣1，2），
所以，
所以．
故选：A．
5．已知，b＝，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断a∈（1，2），b∈（0，1），c＝2，进而比大小．
解：因为，1＝lg33＜lg38＜lg39＝2，0＜b＝＜1，
故a∈（1，2），b∈（0，1），，
所以b＜a＜c．
故选：B．
6．函数f（x）＝的所有零点之和为（ ）
A．7B．5C．4D．3
【分析】由f（x）＝0，运用二次方程的解法和对数方程的解法，可得零点，求和即可得到所求．
解：令f（x）＝0，
由x≤0，x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3（1舍去）；
x＞0时，lgx﹣1＝0，解得x＝10，
则f（x）的所有零点之和为10﹣3＝7．
故选：A．
7．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先利用奇函数图象关于原点对称排除选项，再取特殊值判断即可．
解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）＝＝＝＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，
图象关于原点对称，排除A，B选项，由于f（1）＝＞0，排除C选项，
故选：D．
8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A．9分钟B．10分钟C．11分钟D．12分钟
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出h的值，利用参考数据即可计算得出结果．
解：将所给数据代入，得，
即，所以
当水温从75°C降至45°C时，满足，
可得，即t≈10分钟．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．下列结论错误的是（ ）
A．集合{1，2，3}的真子集有8个
B．设M，N是两个集合，则M∪N＝M⇔M⊆N
C．与角的终边相同的角有无数个
D．若sinθ＝1，则
【分析】根据真子集的定义判断A；根据集合间的基本关系判断B；根据终边相同角的定义判断C；满足sinθ＝1得，判断D．
解：对于A，集合{1，2，3}的真子集有23﹣1＝7（个），所以A选项错误；
对于B，对于集合M，N，若M∪N＝M⇔N⊆M，所以B选项错误；
对于C，与角的终边相同的角用集合可以表示为，
这样的角有无数个，所以C选项正确；
对于D，若sinθ＝1，则，所以θ不一定等于，故D选项错误．
故选：ABD．
（多选）10．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
解：∵θ∈（0，π），，
平方可得1+2sinθcsθ＝，∴sinθcsθ＝﹣，∴θ为钝角，故AB正确；
再根据sin2θ+cs2θ＝1，可得sinθ＝，csθ＝﹣，故tanθ＝﹣，
故C错误，D正确，
故选：ABD．
（多选）11．下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为2
【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可．
解：，当且仅当2x＝8﹣2x，即x＝2时等号成立，故A正确；
当x＜0时，，故B错误；
，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数y＝f（x）和函数y＝g（x）互为“原形函数”的是（ ）
A．f（x）＝sinx，g（x）＝cs（﹣x）
B．
C．
D．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．
解：根据定义，对于A：把函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（x+）＝cs（﹣x）＝csx的图象，故A正确；
对于B：将函数f（x）＝＝22﹣x向左平移2个单位，得到g（x）＝2﹣x的图像，故B正确；
对于C：函数f（x）＝lnx的图象向下平移5个单位，得到的图象，故C错误；
对于D：函数f（x）＝向右平移1个单位得到的图象，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．480°用弧度制表示为 ．
【分析】由180°＝π，得1°＝，则答案可求．
解：∵180°＝π，
∴1°＝，则480°＝480×＝．
故答案为：．
14．已知f（2x）＝4x﹣1，则f（4）﹣f（2）＝ 12 ．
【分析】通过配凑得f（x）＝x2﹣1，再代入x值即可得到答案．
解：f（2x）＝4x﹣1＝（2x）2﹣1，则f（x）＝x2﹣1，
则f（4）﹣f（2）＝42﹣1﹣（22﹣1）＝12．
故答案为：12．
15．已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 {m|} ．
【分析】解出p，q的范围，并设A＝{x|x∈p}、B＝{x|x∈q}，根据q是p的必要不充分条件，得出A⫋B，根据集合包含关系即可得出．
解：解x2﹣8x+15＜0可得3＜x＜5，即p：3＜x＜5，
因为m＞0，所以5m＞2m，解（x﹣2m）（x﹣5m）＜0可得2m＜x＜5m，
即q：2m＜x＜5m．
设A＝{x|x∈p}＝{x|3＜x＜5}，B＝{x|x∈q}＝{x|2m＜x＜5m，m＞0}，
因为若q是p的必要不充分条件，所以A⫋B，
所以有，且不能同时取等号，所以．
故答案为：{m|}．
16．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0.，且，则ω的最小值为 ．
【分析】直接利用正弦型函数的性质，利用分类讨论求出ω的最小值．
解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ），且f（0）＝，
所以sinφ＝，
故φ＝或φ＝，（k1∈Z），
由于，所以
故函数f（x）关于（）对称，
故，所以，（k2∈Z）．
当φ＝时，，整理得，（k1，k2∈Z），
所以，
由于ω＞0，，则，所以（k2﹣2k1）min＝1，
故，当k2﹣2k1＝1时，ω的最小值为；
当φ＝时，，
故，当k2﹣2k1＝1时，ω的最小值为；
综上所述：ω的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（1）解方程：lg2[lg3（3x﹣6）]＝1．
（2）求值：．
【分析】（1）根据对数与指数的互化求解即可；
（2）根据指数的运算性质计算求解．
解：（1）由指数与对数的互化得lg3（3x﹣6）＝2⇒3x﹣6＝32＝9，
解得x＝5，经检验，符合题意．
（2）原式＝．
18．已知非空集合A＝{x|3﹣a＜x＜3a+1}，．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入集合A，并化简A，B，再根据并集的运算求解即可；
（2）根据A∩B＝∅，列出不等式组，即可求出a的取值范围．
解：（1）因为a＝1，所以A＝{x|3﹣a＜x＜3a+1}＝{x|2＜x＜4}．
因为，
所以A∪B＝{x|0＜x＜4}．
（2）因为A∩B＝∅，所以，或，解得．
故a的取值范围为．
19．设f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）＝3，求实数a的值及函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）根据f（2）＝3求得a，根据函数定义域的求法求得f（x）的定义域．
（2）先求得f（x）的定义域，结合二次函数的知识求得f（x）的值域．
解：（1）因为f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝3，
所以f（2）＝lga4+lga2＝3lga2＝3，解得a＝2，
所以f（x）＝lg2（2+x）+lg2（4﹣x）的定义域需满足，
解得﹣2＜x＜4，
即函数f（x）的定义域为（﹣2，4）．
（2），
由﹣2＜x＜4，根据二次函数的性质可得0＜﹣（x﹣1）2+9≤9，
①当a＞1时，y＝lgax在（0，+∞）上递增，函数f（x）的值域为（﹣∞，2lga3]，
②当0＜a＜1时，y＝lgax在（0，+∞）上递减，函数f（x）的值域为[2lga3，+∞）．
20．已知函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式，从而求得它的单调减区间．
（2）由题意，利用正弦函数的最值，求出f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．
解：（1）∵函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）＝﹣2sin（3x﹣φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣，
∴3×（﹣）﹣φ＝kπ+，k∈Z，
令k＝﹣2，可得φ＝，f（x）＝﹣2sin（3x﹣）．
令2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得+≤x≤+，k∈Z，
可得函数的减区间为[+，+]，k∈Z．
（2）f（x）的最小值为﹣2，此时，3x﹣＝2kπ+，k∈Z，
即x＝+，k∈Z，故此时x的取值集合为{x|x＝+，k∈Z}．
21．已知．
（1）求sin2α﹣cs2α的值；
（2）已知，求α+β的值．
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合三角函数商式关系式，求得正切值，根据正弦与余弦的二倍角公式以及平方关系式，可得答案；
（2）根据二次方程以及正切的和角公式，结合角的取值范围，可得答案．
解：（1）因为sinα＝2﹣4sin2）＝2csα，所以tanα＝2，
又因为sin2α﹣cs2α＝，
所以sin2α﹣cs2α＝．
（2）因为β∈（，π），所以tanβ＜0，
因为3tan2β﹣5tanβ﹣2＝（3tanβ+1）（tanβ﹣2）＝0，所以tanβ＝﹣，
又因为α∈（0，π），tanα＝2，所以0＜α＜，
所以tan（α+β）＝＝1，由，得，
所以α+β＝．
22．设a∈R，已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的值域是[k•2m，k•2n]（k∈R），求k的取值范围．
【分析】（1）直接根据奇函数定义f（﹣x）＝﹣f（x），代入解析式即可求出参数a的值；
（2）由（1）知，当a＜0时，得a＝﹣1，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；
（3）首先根据函数单调性可得，即，令t＝2x＞0，将原问题转化为kt2+（k﹣1）t+1＝0在（0，+∞）上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可．
解：（1）由函数f（x）为奇函数，有f（﹣x）+f（x）＝0，
有，
有，
有，有a2＝1，得a＝±1．
①当a＝1时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，符合题意；
②当a＝﹣1时，，定义域为R，，符合题意．
由上知a＝﹣1或1；
（2）当a＜0时，有a＝﹣1，即f（x）定义域为R，结论为：f（x）在R上单调递增，
设R上任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则，
而，，，
∴，
即f（x1）＜f（x2）得证，则f（x）在R上单调递增；
（3）由m＜n知2m＜2n，由[k•2m，k•2n]（k∈R）知k•2m＜k•2n，所以k＞0，
由（2）知f（x）在R上单调递增，结合题意有
得，即m，n是的两个不同实根，
令t＝2x＞0，则kt2+（k﹣1）t+1＝0在（0，+∞）上有两个不同实根，
有可得，
故实数k的取值范围为．