2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块六函数与导数提升点导数应用中的函数构造

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类型1 具体函数的构造
(1)设a＝ eq \f(2,e2) ，b＝ eq \f(ln 2,2) ，c＝ eq \f(1,e) ，则a，b，c的大小关系为( D )
A．c＜b＜a B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【解析】 令f(x)＝ eq \f(ln x,x) (x＞0)，则f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2) ，所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．a＝ eq \f(2,e2) ＝ eq \f(ln e2,e2) ＝f(e2)，b＝ eq \f(ln 2,2) ＝ eq \f(2ln 2,2×2) ＝ eq \f(ln 4,4) ＝f(4)，c＝ eq \f(1,e) ＝ eq \f(ln e,e) ＝f(e)，因为e＜4＜e2，所以f(e2)0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x⇔λxeλx≥eln xln x，
令f(x)＝xex，上述不等式可等价转化为f(λx)≥f(ln x)，易知f(x)在R上是增函数，所以λx≥ln x，所以λ≥ eq \f(ln x,x) .
令h(x)＝ eq \f(ln x,x) ，则h′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2) ，当x∈(0，e)时，h′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)0，x>0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x⇔ln (eλx)·eλx≥x ln x，令g(x)＝x ln x，上述不等式可等价转化为g(eλx)≥g(x)，易知g(x)在( eq \f(1,e) ，＋∞)上单调递增，在(0， eq \f(1,e) )上单调递减，因为x＞0，λ＞0，所以eλx＞1.
若x∈(1，＋∞)，由g(eλx)≥g(x)，有eλx≥x；若x∈(0，1]，恒有eλx＞x.
所以当x＞0，λ＞0，g(eλx)≥g(x)时，恒有eλx≥x，所以λx≥ln x，所以λ≥ eq \f(ln x,x) .
下同方法一．
方法三(取对数同构)：eλx－ eq \f(ln x,λ) ≥0(λ>0，x>0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x，若x∈(0，1]，恒有λx＞0≥ln x.
若x∈(1，＋∞)，有λxeλx≥x ln x⇔ln (λx)＋λx≥ln x＋ln (ln x)，令φ(x)＝x＋ln x，上述不等式可等价转化为φ(λx)≥φ(ln x)，易知φ(x)在(0，＋∞)上是增函数，则λx≥ln x．所以当x＞0，λ＞0，总有λx≥ln x，所以λ≥ eq \f(ln x,x) .
下同方法一．
【答案】 eq \f(1,e)
对于含有同等地位的两个变量的不等式(或方程)进行变形，通过变形整理后的不等式(或方程)两边具有相同结构，往往通过函数的单调性进行求解，这类问题主要针对双变量x1，x2(或a，b)，常见的类型有：
(1) eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＞k(x2＞x1)⇔f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2⇔f(x1)－kx1＜f(x2)－kx2⇔构造y＝f(x)－kx为增函数．
(2) eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＜ eq \f(k,x1x2) (x2＞x1)⇔f(x1)－f(x2)＞ eq \f(k（x1－x2）,x1x2) ⇔f(x1)＋ eq \f(k,x1) ＞f(x2)＋ eq \f(k,x2) ⇔构造y＝f(x)＋ eq \f(k,x) 为减函数．
(3)指对变形的五种等价形式：
①ln ex＝x＝eln x(核心公式)；
②xex＝eln xex＝eln x＋x；
③ eq \f(x,ex) ＝ eq \f(eln x,ex) ＝eln x－x；
④x＋ln x＝ln ex＋ln x＝ln (xex)；
⑤x－ln x＝ln ex－ln x＝ln eq \f(ex,x) .
1．已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin 2x－sin y，则下列选项正确的是( B )
A．2x＜y B．2x＞y
C．x＞y D．x＜y
解析：由题设f(t)＝et－sin t，t＞0，则f′(t)＝et－cs t，当t＞0时，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，原不等式可变形为e2x－sin 2x＞ey－sin y，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y.故选B.
2．已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是( B )
A．x＞y B．x＞ln y
C．x＜y D．x＜ln y
解析：方法一：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－x＞eln y－ln y．令f(x)＝ex－x，则不等式ex－x＞eln y－ln y，等价于f(x)＞f(ln y)，因为f′(x)＝ex－1，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1＞0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，由f(x)＞f(ln y)，得x＞ln y；若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x＞0，得x＞ln y．综上所述，x＞ln y．故选B.
方法二：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.
令g(x)＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g(ex)＞g(y)，因为g′(x)＝ eq \f(x－1,x) ，所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝ eq \f(x－1,x) >0，所以g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.
若y∈(1，＋∞)，由g(ex)＞g(y)，有ex＞y；
若y∈(0，1]，恒有ex＞y.
综上所述，ex＞y，即x＞ln y．故选B.
类型2 抽象函数的构造
命题角度❶ f(x)与xn的关系
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－ eq \f(f（x）,x) －3>0，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为( C )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(e，＋∞)
【解析】 令g(x)＝ eq \f(f（x）,x) －3ln x，x∈(0，＋∞)，g(1)＝0，
因为x∈(0，＋∞)，f′(x)－ eq \f(f（x）,x) －3>0.
所以g′(x)＝ eq \f(xf′（x）－f（x）,x2) － eq \f(3,x) ＝ eq \f(1,x) (f′(x)－ eq \f(f（x）,x) －3)>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
不等式f(ex)－3xex>0可化为 eq \f(f（ex）,ex) －3x>0，
即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0，
所以不等式f(ex)－3xex>0的解集为(0，＋∞).
利用f(x)与x(xn)构造函数的技巧
(1)对于xf′(x)＋f(x)>0(或0(或0(或0(或e2f(3).
利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
(1)对于f′(x)＋f(x)>0(或0(或0(或0(或1或xx2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选B.
4．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足 eq \f(f（x）＋xf′（x）,f′（x）) 0在R上恒成立
B．f(x)1时，g(x)>0，f(x)>0；
当x0在R上恒成立．故选A.
5．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)1).
构造函数F(x)＝f(x)－ eq \f(1,x) ，x∈(1，＋∞)，
则F′(x)＝f′(x)＋ eq \f(1,x2) >0，
所以F(x)在(1，＋∞)上为增函数．
不等式f(lg2x)－1>lgx2可化为f(lg2x)－ eq \f(1,lg2x) >1.
又F(3)＝f(3)－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,3) － eq \f(1,3) ＝1.
故原不等式化为F(lg2x)>F(3)，
从而lg2x>3，解得x>8.故选D.
7．已知函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为( A )
A．{x|x>0}
B．{x|x0}，即不等式exf(x)>ex＋1的解集为{x|x>0}．故选A.
8．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)－f(－x)＝2sin x，当x≥0时，f′(x)≥x－sin x＋cs x，则不等式f(2x)－f(x－ eq \f(π,2) )b>0时， eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ，故A错误；y＝ln x(x>0)在定义域上为增函数，故当a>b>0时，ln a>ln b，故B正确；y＝ eq \f(1,ex) 在(0，＋∞)上单调递减，故当a>b>0时， eq \f(1,ea) < eq \f(1,eb) ，故C错误；y＝ex－x(x>0)，则y′＝ex－1>0，即y＝ex－x在(0，＋∞)上为增函数，故当a>b>0时，ea－a>eb－b，即ea－eb>a－b，故D正确．故选BD.
11．(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x，都满足f(x)＜xf′(x)＜2f(x)－2x，则下列结论正确的是( BCD )
A．f(1)＜2f( eq \f(1,2) )
B．f(1)＜ eq \f(1,2) f(2)
C．f(1)＜4f( eq \f(1,2) )－2
D．f(1)＞ eq \f(1,4) f(2)＋1
解析： 设g(x)＝ eq \f(f（x）,x) (x＞0)，则g′(x)＝ eq \f(xf′（x）－f（x）,x2) ＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由g(1)＞g( eq \f(1,2) )得f(1)＞2f( eq \f(1,2) )，故A错误；
由g(1)＜g(2)得f(1)＜ eq \f(1,2) f(2)，故B正确；
设h(x)＝ eq \f(f（x）－2x,x2) (x＞0)，
则h′(x)＝ eq \f(（f′（x）－2）·x2－（f（x）－2x）·2x,x4)
＝ eq \f(xf′（x）－（2f（x）－2x）,x3) ＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＜h( eq \f(1,2) )得f(1)＜4f( eq \f(1,2) )－2，故C正确；
由h(1)＞h(2)得f(1)＞ eq \f(1,4) f(2)＋1，故D正确．
12．已知f(x)为偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)0的解集为________.
解析：令g(x)＝xf(x)，x∈R.
则根据题意可知，g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数，因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
所以当x≥0时，g′(x)0，
得2xf(2x)>(x－1)f(x－1)，即g(2x)>g(x－1)，
所以2x0)，则h′(x)＝－ex·(x＋1)＋1＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)maxmx－3ex＝m ln ex－3ex，x>0，令g(x)＝m ln x－3x，由g(x＋1)＞g(ex)，且1＜x＋1＜ex，知g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以g′(x)＝ eq \f(m,x) －3≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤3x，解得m≤3.故选C.
16．已知函数f(x)＝xeax－1－ln x－ax.若f(x)的最小值为0，则实数a的最小值是________．
解析：xeax－1－ln x－ax＝eln x＋ax－1－(ln x＋ax)≥(ln x＋ax)－(ln x＋ax)＝0(利用了ex≥x＋1).
等号成立的条件是ln x＋ax＝1，即a＝ eq \f(1－ln x,x) 有解．令g(x)＝ eq \f(1－ln x,x) ，则g′(x)＝ eq \f(ln x－2,x2) ，易得g(x)min＝g(e2)＝－ eq \f(1,e2) ，即实数a的最小值为－ eq \f(1,e2) .
答案：－ eq \f(1,e2)