2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块四概率与统计提升点概率统计中的交汇创新

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块四概率与统计提升点概率统计中的交汇创新，共11页。试卷主要包含了6，乙每次投篮的命中率均为0等内容，欢迎下载使用。
命题角度❶ 概率与数列交汇
(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E( eq \i\su(i＝1,n,X) i)＝ eq \i\su(i＝1,n,q) i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
【解】 (1)设“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋ eq \(B,\s\up10(－))A，
所以P(A)＝P(BA＋ eq \(B,\s\up10(－))A)＝P(BA)＋P( eq \(B,\s\up10(－))A)＝P(B)P(A|B)＋P( eq \(B,\s\up10(－)))P(A| eq \(B,\s\up10(－)))＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，
由题意可知p1＝ eq \f(1,2) ，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，
即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝ eq \f(2,5) pi＋ eq \f(1,5) ，
所以pi＋1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,5) ×(pi－ eq \f(1,3) )，
又p1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ，所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(pi－\f(1,3))) 是以 eq \f(1,6) 为首项， eq \f(2,5) 为公比的等比数列，
所以pi－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i－1，
所以pi＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i－1.
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi所有可能的取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙；当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝1×pi＋0×(1－pi)＝pi.
因为Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ×( eq \f(2,5) )i－1，
所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝ eq \f(n,3) ＋ eq \f(1,6) ×[1＋ eq \f(2,5) ＋( eq \f(2,5) )2＋…＋( eq \f(2,5) )n－1]＝ eq \f(n,3) ＋ eq \f(1,6) × eq \f(1－（\f(2,5)）n,1－\f(2,5)) ＝ eq \f(n,3) ＋ eq \f(5,18) ×[1－( eq \f(2,5) )n]，
所以E(Y)＝ eq \f(n,3) ＋ eq \f(5,18) ×[1－( eq \f(2,5) )n].
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：
(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率类型的依据，也是建立递推关系的准则．
(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题．
(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确运用相关公式．
(2024·浙江三模)为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼．在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第2天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第2天仍下雪的概率为40%.已知寒假第1天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里．记寒假第n天不下雪的概率为Pn.
(1)求P1，P2，P3的值，并求Pn；
(2)设小王寒假第n天通过锻炼消耗的能量为X，求X的均值．
解：(1)由题意得P1＝1，P2＝1×0.4＝0.4，
第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第3天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，
故P3＝0.4×0.4＋0.6×0.6＝0.52，
依题意Pn＝0.4Pn－1＋0.6(1－Pn－1)＝－ eq \f(1,5) Pn－1＋ eq \f(3,5) ，
整理得Pn－ eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－1－\f(1,2))) ，
P1－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) ，
所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,2))) 是以 eq \f(1,2) 为首项，－ eq \f(1,5) 为公比的等比数列，
即Pn－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) eq \s\up12(n－1) ，n∈N*，
所以Pn＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) eq \s\up12(n－1) ，n∈N*.
(2)X＝200，300，
由(1)得P(X＝300)＝0.8Pn＋0.2(1－Pn)＝0.6Pn＋0.2，
则他第n天通过锻炼消耗的能量X的均值为300·P(X＝300)＋200(1－P(X＝300))＝200＋100·P(X＝300)＝220＋60Pn＝250＋30· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) eq \s\up12(n－1) ，n∈N*.
命题角度❷ 概率与函数交汇
某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩高于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为 eq \f(1,8) ，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解】 (1)设样本平均数的估计值为 eq \(x,\s\up10(－))，
则 eq \(x,\s\up10(－))＝10×(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)，
解得 eq \(x,\s\up10(－))＝62，所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14，
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，所以P(X>90)≈P(X>μ＋2σ)≈ eq \f(1,2) ×(1－0.954 5)＝0.022 75，
所以估计能参加复试的人数为0.022 75×8 000＝182.
(3)由该学生获一等奖的概率为 eq \f(1,8) 可知a2b＝ eq \f(1,8) ，
则P＝a2(1－b)＋C eq \\al(1,2) a(1－a)b＝a2＋2ab－ eq \f(3,8) ＝a2＋ eq \f(1,4a) － eq \f(3,8) ，
令P＝f(a)＝a2＋ eq \f(1,4a) － eq \f(3,8) ，0