2023届高考数学二轮复习专题十九圆锥曲线的定义、方程与性质作业含答案

专题强化训练(十九)

一、单项选择题

1.“n>1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的(　A　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件       D.既不充分也不必要条件

解析:当n<0时,方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线;当n>0时,

x2+ny2=1可化为x2+=1,因为椭圆的焦点在x轴上,所以1>,即n>1,故方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线时,n<0或n>1,故“n>1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件.故选A.

2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为(　A　)

A.+=1   B.+=1

C.+=1   D.+=1

解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意可得解得a=4,b=3,所以椭圆C的方程为+=1.故选A.

3.(2022·广东高中联合质量测评)“青花出晕染,胜却人间无数”,青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一,如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径是8 cm,瓶身最小的直径是4 cm,瓶高是6 cm,则该双曲线的离心率为(　B　)

A. B. 

C.    D.

解析:以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),花瓶的最小直径|A1A2|=2a=4,则a=2,由已知可得M(4,3),故-=1,解得b=,所以双曲线的离心率e===.故选B.

4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C在第一象限上的一点,若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为(　C　)

A.   B.2 

C.2   D.4

解析:由y2=8x,知焦点到准线的距离为p=4,焦点F(2,0).由抛物线的定义知PF的中点到y轴的距离等于=3,

又|PF|=xP+2,所以xP+2=6,得xP=4,从而yP=4,所以点P(4,4).

所以直线PF的斜率为=2.故选C.

5.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线-=1(a>0,b>0)下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(　B　)

A.y=±x  B.y=±x

C.y=±x     D.y=±2x

解析:因为双曲线方程为-=1(a>0,b>0),

所以下焦点为(0,-c)(c>0),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,

则下焦点到ax±by=0的距离d==b=2,又因为e===2,解得=,即=,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.

6.(2022·河北张家口三模)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为N,动点M满足|PM|+|PN|的最小值为3,则点M的轨迹长度为(　C　)

A.        B.8π

C.+4  D.8π+2

解析:设点F为抛物线y2=4x的焦点.

当M在抛物线外部时,如图(1)所示,当M,P,F三点共线时,|PM+PN|最小,故|PM|+|PN|=|PM|+|PN|+1-1=|PM|+|PF|-1≥|MF|-1=3,所以|MF|=4,

点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16(在抛物线外部的部分),

与y2=4x联立解得x=3,

所以轨迹与抛物线的两个交点为A(3,2),B(3,-2),则∠AFB=,

圆在抛物线外部的弧长为×4=;

当点M在抛物线上或内部时,如图(2)所示,当N,P,M三点共线时,

|PM|+|PN|最小,此时点M的轨迹方程为x=3(-2≤y≤2),其长度为4.所以点M的轨迹长度为+4.故选C.

7.(2022·广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点且斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,则λ的值为(　C　)

A. B. 

C.2 D.

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2),直线l的倾斜角为θ,则=2px1,

=2px2,|AB|=x1+x2+p=,由tan θ=2,及同角三角函数的基本关系可得sin2θ=,即有x1+x2=p,

由直线l的斜率为2,则直线l的方程为y-0=2(x-),

即y=2x-p,联立抛物线方程,

消去y并整理,得4x2-5px+p2=0,则x1x2=,可得x1=p,x2=p,

则==2,故λ的值为2.故选C.

8.(2022·四川德阳模拟)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在C上,且仅当点P在y轴右边时有·=,那么椭圆C的离心率的取值范围是(　B　)

A.[,) B.[,)

C.[,) D.[,)

解析:设|PF1|=x,由于点P在C上,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-x,

当点P在y轴右边时,有x∈(a,a+c],

设,的夹角为θ,又·=,所以x(2a-x)cos θ=x2,所以cos θ=,

在△PF1F2中,由余弦定理可知,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ,

所以(2c)2=x2+(2a-x)2-2x(2a-x)cos θ=x2+(2a-x)2-x2=(2a-x)2,

又2c>0,2a-x>0,所以2c=2a-x,所以x=2(a-c),又a<x≤a+c,所以a<2(a-c)≤a+c,所以2c<a≤3c,

所以≤<,故≤e<.故选B.

二、多项选择题

9.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,Q是圆F2:(x-4)2+y2=16上一动点,线段F1Q的垂直平分线交直线QF2于E上的点P,则(　ABD　)

A.E的离心率为2

B.E的渐近线方程为y=±x

C.F2到E的渐近线的距离为

D.△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2

解析:由题意,可知F2(4,0),所以c=4.又由题意,知|PF1|=|PQ|,所以2a=||PF1|-|PF2||=||PQ|-|PF2||=|QF2|=4<2c=8,所以b2=c2-a2=12,故E的方程为-=1,所以E的离心率为==2,渐近线方程为y=±x=

±x,故A,B正确;焦点F2到E的渐近线的距离为d==2,所以C错误;

设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点A(x0,0),则由双曲线定义得2a=||PF1|-|PF2||=||AF1|-|AF2||=|(x0+c)-(c-x0)|=2|x0|,

所以x0=±a=±2,

即△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2,所以D正确.故选ABD.

10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c>0),若∠F1PF2是直角,则(　ABC　)

A.|OP|=c(O为原点)

B.=b2

C.△F1PF2的内切圆半径r=a-c

D.|PF1|max=a+c

解析:在Rt△F1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=|F1F2|=c,故A正确;

设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,

所以mn=[(m+n)2-(m2+n2)]=2b2,所以=mn=b2,故B正确;

=(m+n+2c)·r=b2,r====a-c,故C正确;

若|PF1|=a+c,则P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2构不成三角形,故D错误.故选ABC.

11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过F的直线与抛物线C分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列说法正确的是(　AD　)

A.y1y2为定值

B.∠AOB可能为直角

C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点

D.对于确定的直线AB,在C的准线上存在三个不同的点P,使得△ABP为直角三角形

解析:由题意知直线AB的斜率不为0,设lAB:x=ty+1,与y2=4x联立可得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,故A正确;

因为x1x2==1,所以kOA·kOB=≠-1,所以∠AOB≠,故B错误;

设BF的中点为M(,),=,则以BF为直径的圆与y轴相切,故C错误;

设AB的中点N(,),N到C的准线的距离为+1,因为=+1,

故有以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,对于确定的直线AB,当∠P为直角时,此时P为切点;

当∠A或∠B为直角时,P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点,故D正确.故选AD.

12.(2022·湖北模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是抛物线y2=4x上一动点,Q是圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上一动点,则下列说法正确的有(　AC　)

A.|PF|的最小值为1

B.|QF|的最小值为

C.|PF|+|PQ|的最小值为4

D.|PF|+|PQ|的最小值为+1

解析:由题意知,F(1,0),C(4,1),圆C的半径为 r=1,

由抛物线的定义知,|PF|=xP+1≥1,所以|PF|的最小值为1,

即选项A正确;

点Q是圆上的动点,|QF|min=|CF|-r=-1,即选项B错误;

过点P作PM垂直准线于点M,则|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|,

而|MQ|min=|MC|-r=4+1-1=4,当且仅当M,Q,C三点共线,且该直线与x轴平行时,等号成立,

所以|PF|+|PQ|的最小值为4,即选项C正确,选项D错误.故选AC.

三、填空题

13.(2022·湖南长沙岳麓区校级模拟)已知点A,B在椭圆C:+=1上,O为坐标原点,直线OA与OB的斜率之积为-,设=λ+μ,若点P在椭圆C上,则λ2+μ2的值为　　　　. 

解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,且=-.

由题设,点P(λx1+μx2,λy1+μy2)在椭圆C上,

则+=1,

即λ2(+)+μ2(+)+2λμ(+)=1,得λ2+μ2=1.

答案:1

14.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF的周长的最小值为　　　　. 

解析:由抛物线y2=4x可得焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.

由题意可知求△PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.

则根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此求|PA|+|PF|的最小值即求|PA|+|PD|的最小值.

易知当P,A,D三点共线时,|PA|+|PD|最小.

所以(|PA|+|PD|)min=xA-(-1)=3+1=4.

又因为|AF|==2,

所以△PAF的周长的最小值为4+2.

答案:4+2

15.(2022·河北张家口一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过原点O的直线l交椭圆C于点A,B,且2|FO|=|AB|,若∠BAF=,则椭圆C的离心率是　　　　. 

解析:因为直线AB过原点,由椭圆及直线的对称性可得|OA|=|OB|,所以|AB|=2|OA|,

设右焦点为F′,如图所示,连接BF′,AF′,

又因为2|OF|=|AB|=2c(c>0),

即|FF′|=|AB|,可得四边形AFBF′为矩形,且∠ABF=∠AF′F,

在Rt△AFF′中,|AF|=|FF′|sin ∠AF′F=2c·sin ∠AF′F,

|AF′|=|FF′|cos ∠AF′F=2c·cos ∠AF′F,

由椭圆的定义可得|AF|+|AF′|=2a,

所以2a=2c·(sin ∠AF′F+cos ∠AF′F),

因为∠BAF=,故∠AF′F=,

所以离心率e===-1.

答案:-1

16.已知直线l为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,点F1关于直线l的对称点在双曲线C的另一条渐近线上,则双曲线C的渐近线的斜率为　　         　　,离心率为　　　   　. 

解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,设直线l为y=-x,则另一条渐近线为y=x,

因为F1(-c,0)(c>0),设点F1关于直线l的对称点F′(x0,y0),

所以解得x0=-c,y0=,所以=·(-c),

即2a2=2b2-c2,所以2a2=2c2-2a2-c2,2a2=2b2-a2-b2,即c=2a,a=b,

所以双曲线C的渐近线的斜率为±,离心率e==2.

答案:±　2