高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时教案，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
正弦定理是学生在已经系统学习了用余弦定理解三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养；
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养。
1.重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。
2.难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？
2.探索交流，解决问题
【问题1】 如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？
【提示】 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c.
【问题2】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？
【提示】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

（二）正弦定理
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)。
拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C).
【思考1】正弦定理的主要功能是什么？
提示 实现三角形中边角关系的互化.
【思考2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？
提示 不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
【做一做】1.在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A.acs C＝ccs A B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
解析 由正弦定理易知，选项D正确.
答案 D
2.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是( )
A.eq \f(7,5) B.eq \f(5,7) C.eq \f(7,12) D.eq \f(5,12)
解析 由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.
答案 A
3.已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________.
解析 因为eq \f(BC,sin A)＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2eq \r(3).
答案 2eq \r(3)
（三）典型例题
1.已知两角及一边解三角形
【例1】 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解 根据正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 105°,sin 30°)＝20sin 75°＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2)).
【类题通法】1.正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
2.解决已知两角及一边类型的解题方法：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
【巩固练习1】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
解 因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，
由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(sin 45°,sin 60°)＝eq \f(\r(6),3)，故所求的最短边长为eq \f(\r(6),3).
2.已知两边及一边的对角解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，求A，C和c.
解 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，知sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2)，
∵ba，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)－1.
3.判断三角形形状
【例3】 已知在△ABC中，bsin B＝csin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
解 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R得sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
∵bsin B＝csin C，∴b·eq \f(b,2R)＝c·eq \f(c,2R)，∴b2＝c2，∴b＝c.
∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(eq \f(a,2R))2＝(eq \f(b,2R))2＋(eq \f(c,2R))2，
∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【类题通法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.
【巩固练习3】(1)若acs B＝bcs A，则△ABC是________三角形；
(2)若acs A＝bcs B，则△ABC是________三角形.
解析 (1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs B＝bcs A，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs A,cs B)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs A,cs B)，所以sin A·cs B＝sin B·cs A，
即sin A·cs B－sin B·cs A＝0，故sin(A－B)＝0，
∵A，B是三角形内角，
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs A＝bcs B，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs B,cs A)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs B,cs A)，所以sin A·cs A＝sin B·cs B，
所以2sin A·cs A＝2sin B·cs B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B为三角形内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案 (1)等腰 (2)等腰或直角
（四）操作演练 素养提升
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D.1
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝( )
A.4eq \r(3) B.2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(3),2)
3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.在△ABC中， a＝5，b＝5eq \r(3)，A＝30°，则B＝________.
答案 1.B 2.B 3. A 4. 60°或120°
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第48页 练习 第1，2，3题
第52 页 习题6.4 第7,10题










6.4 平面向量的应用
课时内容
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
余弦定理、正弦定理
所在位置
教材第38页
教材第40页
教材第42页
新教材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用”向量和向量运算“来替代”数和数的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具。本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛
核心素养培养
通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
教学主线
平面向量的线性运算与数量积运算及其坐标表示