黑龙江省绥化市2024－2025学年九年级上学期一模数学试题

这是一份黑龙江省绥化市2024－2025学年九年级上学期一模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从多个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶，则其主视图的大致形状是（ ）

A． B．
C． D．
4．如图，下列条件仍无法保证与相似的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csA＝D．tanB＝
7．对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内D．图象关于坐标原点中心对称
8．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．若点、都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A．B．C．D．
10．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是B．最大电流是
C．最小电流是D．最小电流是
11．如 图，D是的边上一点，已知，，若的面积为a， 则的面积为 （ ）
A．aB．C．D．
12．如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交CA的延长线于点，连接，交DE于点．下列结论：
①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．②④D．②③④
二、填空题
13．的值等于 ．
14．在中，，如果，，那么 ．
15．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为 ．
16．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米
17．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是 个．
18．某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3cm的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系，设蜡烛火焰顶端A点处坐标为，则A点对应的“像”的点的坐标为 ．
19．如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 ．
20．如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为 ．
21．如图，正方形的顶点B在x轴上，点A、点C在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则k的值为 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ．
三、解答题
23．先化简再求值：，其中
24．如图是一个几何体的三视图．
(1)该几何体名称是_________；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
25．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF•BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
26．如图，直线与反比例函数的图像交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
27．在中，，D是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CD，将线段绕点顺时针旋转得到线段DE，连接，AD．
(1)当时，如图①，线段，AD之间的数量关系是_________；
(2)当时，如图②，当时，如图③，线段，AD之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②的情形进行证明．
28．根据以下素材，探索完成任务．
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据反比例函数的定义回答即可．
【详解】A．该函数是正比例函数，故本选项错误；
B．该函数是正比例函数，故本选项错误；
C．该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D．y是的反比例函数，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查反比例函数的定义，解题的关键是熟知其特点．一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2．D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了三视图的知识．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．据此进行解答即可．
【详解】解：主视图的大致形状如图所示：

故选：D．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解答本题关键要明确：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，这两个三角形相似；三组对应边的比相等则两个三角形相似．
本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理即可作出判断．
【详解】解：由题得，
∴当或或时，
选项B中和不是对应角，
故选：B ．
5．D
【分析】本题考查位似图形的识别，注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝45，故选项C正确；
tanB＝43，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可．
【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意；
B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；
D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据比例的性质可将化为，再将代入原式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．
【详解】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y2＞y1＞0，
∵1＞0，
∴y3＜0，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选A．
11．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
先得到，然后根据相似三角形的性质得出，再根据计算即可得．
【详解】解：在和中，
故选：C．
12．A
【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了特殊的三角值的混合运算．根据即可解答．
【详解】解：，
故答案为：．
14．/4.5/
【分析】根据锐角三角函数定义得出，代入求出即可．
【详解】如图：
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．
【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
【详解】点，分别是边，的中点
，即
又
则四边形的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．
【分析】本题考查了坡度，根据坡度是“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离
【详解】解：∵，为米，
∴，
∴，
故答案为：4．
17．4
【分析】本题考查了根据几何体的三视图判断组成几何体的小正方体的个数，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数和列数，先根据主视图和左视图得出该几何体为两层三列，再确定每层的最少个数即可．
【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列，
最低层最少为个，第二层为1个，
如图（一种最少的情况的俯视图）：
∴最少由4个小正方体组成，
故答案为：4．
18．
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据小孔成像实验可得，据此求解即可．
【详解】如图所示，A点对应的“像”的点，则
∴，
∵蜡烛火焰顶端A点处坐标为，刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，
∴ ， ，，
∴，解得，
∴A点对应的“像”的点，
故答案为：．
19．1,2或-1，-2
【分析】由位似知共有两种情况：情况①：由知如图，作，垂足分别为，有，，证明，可得，进而可知点坐标，情况②：由位似可知，在位似中心O的左侧仍存在，且此时的C点与情况①中的C点坐标关于原点O中心对称，进而可知C点坐标．
【详解】解：由位似知共有两种情况：情况①：由知如图，作，垂足分别为
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴点坐标为；
情况②：由位似可知，在位似中心O的左侧仍存在，且此时的C点与情况①中的C点坐标关于原点O中心对称
∴此时C点坐标为-1，-2；
综上所述C点坐标为或-1，-2
故答案为：或-1，-2．
【点睛】本题考查了位似图形的点坐标．解题的关键在于对位似知识的熟练掌握．
20．或/4或2
【分析】由含的直角三角形的性质可求，，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
【详解】解：在中，，，，
，，
，
点为的中点，
，
，即，
，
如图，当时，
，，
，
，即，
；
如图，当时，取的中点，连接，
为的中点，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
21．
【分析】根据一次函数求得，，得到，，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图像上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
23．；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值，准确计算．
【详解】解：
，
，
把代入得：原式．
24．(1)长方体
(2)这个长方体的表面积为．体积为
【分析】本题考查根据三视图判定几何体，几何体的表面积以及体积等知识．
（1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可；
（2）根据长方体的表面积公式以及体积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：这个几何体是长方体，
故答案为：长方体；
（2）解：这个长方体的表面积．
这个长方体的表面积为．
体积为：
25．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；
（2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF•BE；
（2）∵AE2＝EF•BE，
∴BE＝＝4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴＝，即＝，解得AF＝，
∵△EAF∽△EBA，
∴＝，即＝，
∴AB＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
26．(1)反比例函数解析式为
(2)
(3)存在，P点坐标为
【分析】（1）把代入 中，求出m的值，即可得反比例函数解析式为；
（2）分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D．先求出B点的坐标为．由反比例函数的几何意义可得，则可得，进而可得，根据梯形的面积公式即可求解．
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时的值最小．求出的表达式为，再求出时x的值，即可得P点的坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的表达式、反以及反比例函数的几何意义以及利用将军饮马求点的坐标．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：分别过点A、B作轴，交x轴与点C、交与点E，过点B作轴，交x轴与点D．

由（1）可知，反比例函数解析式为，
把代入，得，
解得，
所以．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在．
作点A关于x轴的对称点，如图，则，连接交x轴于P，则，
所以，
所以此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
当时，，
解得，
所以P点坐标为．

27．(1)
(2)当时，，当时，，
【分析】（1）当时，，．，
和都是等边三角形，得到，，再证明，得到．
（2）过点A作于点G，设，过点D作于点H，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，三角函数的应用，计算解答即可．
设，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，计算解答即可．
【详解】（1）证明：当时，
∵，．，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：．
（2）当时，．当时，．
理由如下：当时，

设，设，如图，连接，
∵，，．
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
当时，如图，连接，过点A作于点G，设，
当时，
∵，．，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
过点D作于点H，设，同理可证，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
28．任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2，
任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3．
【详解】解：任务1：如图，过作于，
，
∴，
又∵，，
∴（米），
（米），
（米），
∴（米），
任务2：如解图2，过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
∵米，，
∴（米），
（米），
（米），
∵由题意可知：米，
∴（米）
∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，
∴，
∴（米）
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）
任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
如解图3，在中，，
即（米），
（米），
答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
B
D
C
B
B
C
A
题号
11
12








答案
C
A