高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2.1 指数函数的概念课后测评

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1.给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－20且m≠1，))解得m＝2(舍m＝－1)．
3.函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
答案 C
解析 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．
4.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)，8)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)，8)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9))
答案 A
解析 y＝3－x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－10，,4－3a≠1，))解得a0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4).
解答题
11.有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解析 设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴乙方案能获得更多的木材．
12.截止到2024年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2035年年底的人口数是多少？
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
解析 (1)2024年年底的人口数为130万；
经过1年，2025年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；
经过2年，2026年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；
经过3年，2027年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．
……
所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．
即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．
(2)2035年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．
(3)由(2)可知，2035年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134