北师大版八年级上册数学期末模拟测试卷（含答案）

这是一份北师大版八年级上册数学期末模拟测试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是，下列关系式中，一次函数是，若正比例函数y＝kx等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各数0，π，327，113，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．2，2，22C．7，24，25D．4，5，6
3．下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x−1B．y＝x2+3
C．y＝kx+b（k、b是常数）D．y＝3x
4．下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组y=2xy=ax+4的解为（ ）
A．x=32y=3B．x=3y=32C．x=3y=2D．x=2y=3
6．如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是 （2，﹣1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣2），则黑棋②的坐标是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，1）C．（﹣3，2）D．（﹣3，1）
7．若正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减少，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知关于x，y的方程组x+my=7①mx−y=2+m②，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A．x=4y=−1B．x=1y=−4C．x=5y=−4D．x=−5y=4
9．如图，已知正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2021）B．（3，﹣2021）
C．（﹣2021，﹣3）D．（﹣2021，3）
10．已知a=12+3，b=3−2，则a，b的关系是（ ）
A．a＝bB．a＝﹣bC．a=1bD．ab＝﹣1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by＝3的解，则4a﹣2b﹣5的值为 ．
12．若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，则点M（a，b）在第 象限．
13．如图，直线l上有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为36和64，则B的面积为 ．
14．弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 ．
15．如图，点P的坐标为（4，3），点Q位于x轴的正半轴上，若△OPQ是等腰三角形，则点Q的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）计算：(6−215)×3−612； （2）解方程组3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)．
17．（9分）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计表：
（1）根据图提供的数据填空：
a的值是 ，b的值是 ；
（2）结合两队的平均数和众数，分析哪个队的决赛成绩好；
（3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？
18．（9分）已知点P（2a﹣2，a+5），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上．
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴．
19．（9分）（1）观察发现：
材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②，
将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以x=2y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②．
20．（9分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵4＜7＜9，即2＜7＜3，
∴7的整数部分为2，小数部分为（7−2）．
请解答：（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b−5的值；
（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
21．（10分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+3的图象分别交x轴，y轴于点A，B，一次函数y＝x+6的图象经过点A，并与y轴交于点C，P是直线AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交直线AB于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试探究直线AC上是否存在点P，使PE的长度等于BC长度的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，5），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）
（1）写出点B的坐标（ ， ）；
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间．
23．（11分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：327=3，
0，327，113是有理数，
π，0.1010010001…（两个1之间，依次增加1个0）是无理数，
无理数有2个，
选：A．
2．解：A、勾股数必须是正整数，其中0.6，0.8不是正整数，该项不正确，不符合题意；
B、勾股数必须是正整数，其中22不是正整数，该项不正确，不符合题意；
C、72+242＝49+576＝625＝252，该项正确，符合题意；
D、42+52＝16+25＝41≠62，该项不正确，不符合题意；
选：C．
3．解：A、自变量在分母上，不符合一次函数定义，此选项不符合题意；
B、y＝x2+3是二次函数，不是一次函数，此选项不符合题意；
C、当k＝0时，不符合一次函数定义，此选项不符合题意；
D、y＝3x是正比例函数也是一次函数，此选项符合题意；
选：D．
4．解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
选：C．
5．解：把A（m，3）代入y＝2x得：3＝2m，
解得：m=32，
∴A（32，3），
则关于x，y的方程组y=2xy=ax+4的解为x=32y=3．
选：A．
6．解：如图，
黑棋②的坐标为（﹣2，2）．
选：A．
7．解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x﹣k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
选：A．
8．解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
x−y−9=0x+y−1=0
解得x=5y=−4
所以这个公共解为x=5y=−4
选：C．
9．解：由顶点A（1，1），B（3，1）知道，正方形ABCD的边长为2，点C的坐标为（3，3）．
∴点C关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，3）．
由题意，得：
经过1次变换后点C的坐标为（﹣3，2）；
经过2次变换后点C的坐标为（3，1）；
经过3次变换后点C的坐标为（﹣3，0）；
经过4次变换后点C的坐标为（3，﹣1）；
经过5次变换后点C的坐标为（﹣3，﹣2）；
经过6次变换后点C的坐标为（3，﹣3）；
……，
从以上可看出，奇数次变换后点C的横坐标为﹣3，偶数次变换后点C的横坐标为3；经过3次变换后，变换的次数比点C的纵坐标的绝对值大3，且点C的纵坐标均为负数．
∴这样连续经过2024次变换后，点C的横坐标为3，纵坐标为﹣（2024﹣3）＝﹣2021，
∴经过2024次变换后，点C的坐标为（3，﹣2021）．
选：B．
10．解：∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，b=3−2，
∴a＝﹣b，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵x=2y=−1是二元一次方程ax+by＝3的解，
∴2a﹣b＝3．
∴原式＝2（2a﹣b）﹣5＝2×3﹣5＝1．
答案为：1．
12．解：∵点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴点M（2，﹣3）在第四象限．
答案为：四．
13．解：如图，
∵图形A、B、C都是为正方形，
∴EF2＝36，MN2＝64，GE＝GM，∠EGM＝90°，
∴∠EGF+∠NGM＝90°，
而∠EGF+∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠NGM，
在△EFG和△GNM中，
∠EFG=∠NGM∠FEG=∠NGMEG=GM，
∴△EFG≌△GNM，
∴GF＝MN，
在Rt△EFG中，EG2＝EF2+FG2＝EG2+MN2＝36+64＝100，
∴正方形B的面积为100．
答案为100．
14．解：由图象得，（5，12.5），（20，20）在一次函数图象上，
设一次函数的图象为y＝kx+b，
把（5，12.5），（20，20）代入y＝kx+b，
可得12.5=5k+b20=20k+b，
解得k=12b=10，
∴一次函数的图象为y=12x+10，
当x＝0时，y＝10，
∴弹簧不挂物体时的长度是10厘米，
答案为：10厘米．
15．解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP=42+32=5，
如图，
当OP＝OQ1时，
∴OQ1＝5，
∴Q1（5，0）；
当OP＝PQ2时，
∵点P的坐标为（4，3），
∴OQ2＝2×4＝8，
∴Q2（8，0），
当OQ3＝PQ3时，
设Q3（x，0），
∴OQ32=x2，PQ32=(x−4)2+32，
∵OQ32=PQ32，
∴x2＝（x﹣4）2+32，
解得x=258，
∴Q3(258，0)；
综上所述，点Q的坐标为（5，0）或（8，0）或(258，0)．
答案为：（5，0）或（8，0）或(258，0)．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）(6−215)×3−612
=18−245−6×22
=32−65−32
=−65；
（2）原方程组整理得3x−y=8①−3x+5y=20②，
①+②得：4y＝28，
y＝7，
将y＝7代入①得3x﹣7＝8，解得x＝5，
∴方程组的解集为x=5y=7．
17．解：（1）将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100，
∴中位数为80，
∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85．
答案为：80，85；
（2）初中代表队的平均成绩是：（75+80+85+85+100）÷5＝85（分），
高中代表队的成绩好些，因为两个队的平均数都相同，高中代表队的众数高，
所以在平均数相同的情况下，众数高的高中代表队成绩好些；
（3）高中代表队的方差是：15[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2]＝160，
初中代表队的方差是：70，
∵S初中2＜S高中2，
∴初中代表队选手成绩较稳定．
18．解：（1）∵点P（2a﹣2，a+5）在x轴上，
∴a+5＝0，
解得a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴P（﹣12，0）；
（2）∵P（2a﹣2，a+5），Q（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
解得a＝3，
∴a+5＝8，
∴P（4，8）．
19．解：（1）x−y−1=0①4(x−y)−y=5②，
由①得：x﹣y＝1③，
将③代入②得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③得：x+1＝1，
解得：x＝0，
则原方程组的解为x=0y=−1，
答案为：x=0y=−1；
（2）2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②，
由（1）得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：2+57+2y＝9，
解得：y＝4，
将y＝4代入③得：2x﹣12＝2，
解得：x＝7，
原方程组的解为x=7y=4．
20．解：（1）∵4＜17＜5，
∴17的整数部分是4，小数部分是 17−4，
答案为：4，17−4；
（2）∵2＜5＜3，
∴a=5−2，
∵3＜13＜4，
∴b＝3，
∴a+b−5=5−2+3−5=1；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴11＜10+3＜12，
∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+3−11=3−1，
∴x﹣y＝11﹣（3−1）＝12−3，
∴x﹣y的相反数是﹣12+3．
21．解：（1）∵在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+3的图象分别交x轴，y轴于点A，B，
令y＝0得：12x+3=0；
解得x＝﹣6，
令x＝0得：y＝3，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∵一次函数y＝x+6的图象与y轴交于点C，
令x＝0得：y＝6，
∴C（0，6）；
（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（0，6），
∴BC＝6﹣3＝3，AO＝6，
∴S△ABC=12BC•AO=12×3×6＝9；
（3）直线AC上存在点P，使PE的长度等于BC长度的一半；理由如下：
设点P的坐标为（a，a+6），
∵PE与x轴垂直，且点E在直线AB上，
∴点E的坐标为(a，12a+3)，
根据题意，得PE=12BC=32，
分以下两种情况讨论：
①当点P位于点E上方时，PE=a+6−(12a+3)=12a+3，
∴12a+3=32，
解得a＝﹣3，
∴P（﹣3，3）；
②当点P位于点E下方时，PE=12a+3−(a+6)=−12a−3，
∴−12a−3=32，
解得a＝﹣9，
∴P（﹣9，﹣3），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，3）或（﹣9，﹣3）．
22．解：（1）点B的坐标（4，5），答案为：4，5；
（2）当点P移动了4秒时，点P移动了4×2＝8个单位长度，
∵C点的坐标为（0，5），∴OC＝5，∴8﹣5＝3，
∴此时，点P的位置在线段BC上，且CP＝3，
如图所示，点P的坐标为BC边中点（3，5）．
（3）当点P在OC上时，OP＝4，
此时所用时间为4÷2＝2（s）；
当点P在AB上时，AP＝4，BP＝1，
∵A点的坐标为（4，0）∴OA＝CB＝4，
∵C点的坐标为（0，5）∴OC＝5，OC+CB+BP＝5+4+1＝10，此时所用时间为
10÷2＝5（s）；
综上所述，当点P移动2秒或5秒时，点P到x轴的距离为4个单位长度．
23．解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）=12（180°+∠A）＝90°+12∠A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E=12∠A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
题号
一
二
三
总分
得分
甲
乙
丙
丁
平均数x
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
平均数
中位数
众数
方差
初中部
85
b
70
高中部
85
a
100
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
C
A
A
A
C
B
B