第09讲 函数与平面直角坐标系（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义（含练习）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc153303983" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc153303984" 考点一 平面直角坐标系
\l "_Tc153303985" 题型01 用有序数对表示点的位置
\l "_Tc153303986" 考点二 点的坐标特征与变换
\l "_Tc153303987" 题型01 判断点所在的象限
\l "_Tc153303988" 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标
\l "_Tc153303989" 题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离
\l "_Tc153303990" 题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标
\l "_Tc153303991" 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
\l "_Tc153303992" 题型06 探索点的坐标规律
\l "_Tc153303993" 类型一 沿坐标系水平运动的点的规律探查
\l "_Tc153303994" 类型二 沿坐标系翻折运动的点的规律探查
\l "_Tc153303995" 类型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探查
\l "_Tc153303996" 类型四 图形变换中点的规律探查
\l "_Tc153303997" 类型五 新定义问题中点的规律探查
\l "_Tc153303998" 考点三 坐标方法的简单应用
\l "_Tc153303999" 题型01 实际问题中用坐标表示位置
\l "_Tc153304000" 题型02 用方位角和距离确定物体位置
\l "_Tc153304001" 题型03 根据方位描述确定物体位置
\l "_Tc153304002" 题型04 平面直角坐标系中面积问题
\l "_Tc153304003" 类型一 直接利用面积公式求面积
\l "_Tc153304004" 类型二 已知三角形面积求点的坐标
\l "_Tc153304005" 类型三 利用割补法求面积
\l "_Tc153304006" 类型四 利用补形法求面积
\l "_Tc153304007" 类型五 与图形面积相关的存在性问题
\l "_Tc153304008" 考点四 函数
\l "_Tc153304009" 题型01 函数的概念辨析
\l "_Tc153304010" 题型02 根据实际问题列函数解析式
\l "_Tc153304011" 题型03 求自变量的取值范围
\l "_Tc153304012" 题型04 求自变量的值或函数值
\l "_Tc153304013" 题型05 函数图象的识别
\l "_Tc153304014" 题型06 从函数图象中获取信息
\l "_Tc153304015" 题型07 用描点法画函数图象
\l "_Tc153304016" 题型08 动点问题的函数图象
考点一 平面直角坐标系
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）.
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同.
2. 坐标轴上的点不属于任何象限.
3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系.
题型01 用有序数对表示点的位置
【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛B．鱼C．狗D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】嘉嘉乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的小艇A，B，C的位置如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km，小圆半径是1km．若小艇B相对于游船的位置可表示为-60°，2，小艇C相对于游船的位置可表示为0°,-1向东偏为正，向西偏为负，下列关于小艇A相对于游船的位置表示正确的是( )
A．小艇A30°，3B．小艇A-30°，3
C．小艇A30°，-3D．小艇A60°，3
【答案】A
【分析】根据向东偏为正，向西偏为负，可得横坐标，根据每两个圆环之间距离是1千米，可得答案．
【详解】解：图中小艇A相对于游船的位置表示30°，3，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用方向角表示横坐标，利用圆环间的距离表示纵坐标，注意向东偏为正，向西偏为负．
【变式1-2】（2023长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
A．E4，E6B．D5，F5C．D6，F6D．D5，F6
【答案】D
【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案．
【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6故选：D
【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键．
【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【答案】 0,7 天文馆
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为0,7，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：0,7，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据8,5表示入口处的位置，6,1表示高空缆车的位置，确定原点位置．

在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义.
考点二 点的坐标特征与变换
一、点的坐标特征
二、点的坐标变化
三、点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则
1）点P到x轴的距离为b；
2）点P到y轴的距离为a；
3）点P到原点O的距离为P＝ a2+b2.
四、坐标系内点与点之间的距离
点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）：MN=（x2-x1)2+(y2-y1)2
若AB∥x轴，则A(xA,y),B(xB,y)的距离为xA-xB；
1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
若AB∥y轴，则A(x,yA),B(x,yB)的距离为yA-yB；
题型01 判断点所在的象限
【例1】（2023松阳县二模）在平面直角坐标系中，点P1,-2位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系内各点的坐标特征即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点P1,-2位于第四象限．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了坐标系内各点的坐标特征，掌握第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零是解答本题的关键．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点A-1，a+b与点Ba-b,3关于y轴对称，则点C-a,b落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出a,b的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】∵点A-1，a+b与点Ba-b,3关于y轴对称，
∴a+b=3a-b=1，
解得：a=2b=1，
则点C-a,b即C-2,1在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，正确得出a,b的值是解题关键．
【变式1-2】（2023·陕西宝鸡·统考三模）二次函数y=(x+m)2+n的图像如图所示，则点m,n所在的象限是（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据函数解析式得出顶点为（-m,n），根据图像可得-m>0，n0时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
题型02 根据实际问题列函数解析式
【例2】（2023·安徽六安·统考二模）某登山队大本营所在地的气温为8°C．海拔每升高1km，气温下降6°C．队员由大本营向上登高xkm，气温为y°C，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=8+6xB．y=8-6xC．y=6-34xD．y=8-34x
【答案】B
【分析】根据“大本营所在地的气温为8°C，海拔每升高1km，气温下降6°C”可得向上登高xkm可得气温下降了6x°C，即可写出函数关系式．
【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为y=8-6x，
故选：B．
【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2-1】（2023·重庆·统考一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q=0.2tB．Q=40-0.2tC．Q=0.2t+40D．Q=0.2t-40
【答案】B
【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q=40-0.2t，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式2-2】（2023·河南新乡·统考三模）下面的四个问题中都有两个变量：
①圆的面积y与它的半径x；
②物体的质量y与它的密度x；
③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y与放水时间x；
④某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务y与施工时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（ ）

A．①②③④B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【分析】根据题意分别列出每个问题中的函数关系式，进而即可求解.
【详解】解：①圆的面积y与它的半径x的关系为：y=πx2，是二次函数关系，不可以用如图所示的图象表示；
②物体的质量y与它的密度x的关系为：y=xV，V表示体积，不可以用如图所示的图象表示；
③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，设游泳池中原来有水为V，放水速度为a，则游泳池中的水的剩余水量y与放水时间x的关系为：y=V-ax，可以用如图所示的图象表示；
④某工程队匀速铺设一条地下管道，设总任务为m，铺设的速度为v，则铺设剩余任务y与施工时间x的关系为：y=m-vx，可以用如图所示的图象表示；
故选：B.
【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式与函数图象的关系，正确得出每个问题中的函数关系式是解题的关键.
【变式2-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）下面的五个问题中都有两个变量：
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x；
②汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x；
③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x；
④三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x；
⑤矩形面积一定时，周长y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）

A．①②B．②④C．①④D．①④⑤
【答案】C
【分析】题中变量y与变量x之间的函数关系如图所示的图像表示反比例函数y=kx，再由五个问题中的两个变量的函数关系逐一验证即可得到答案．
【详解】解：由题可知变量y与变量x之间的函数关系为反比例函数y=kx，
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x，则注水量k（定值）=xy，从而变量y与变量x之间的函数关系为反比例函数y=kx，符合题意；
②汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x，则速度k（定值）=yx，从而变量y与变量x之间的函数关系为正比例函数y=kx，不符合题意；
③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x，从而变量y与变量x之间的函数关系为二次函数y=ax2+bx+c，不符合题意；
④三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x，则三角形面积k（定值）=12xy，从而变量y与变量x之间的函数关系为反比例函数y=2kx，符合题意；
⑤矩形面积一定时，周长y与一边长x，则矩形面积k（定值）=y2-xx，从而变量y与变量x之间的函数关系为y=2kx+2x，不符合题意；
∴五个问题中变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查函数图像，读懂题意，找到各个问题中变量之间的函数关系是解决问题的关键．
【变式2-4】（2023·河南开封·统考一模）请写出一个图象经过(2，-2)的函数的解析式 ．
【答案】y=-x(答案不唯一)
【分析】写出一个经过点（2，-2）的一次函数即可．
【详解】解：经过点A2,-2的函数的解析式可以为y=-x，
故答案为：y=-x（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．
题型03 求自变量的取值范围
【例3】（2023·湖北恩施·统考一模）函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥-2且x≠0B．x≥-2C．x>-2或x≠0D．x>-2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x+2≥0x≠0，
解得：x≥-2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
【变式3-1】在函数y=1x-2+x-2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥-2 C．x>2 D．x>-2
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：x-2≥0且x-2≠0，
解得：x>2．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
【变式3-2】（2023·江苏苏州·统考一模）函数y=1x-1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x>1 B．x≥1 C．x0，解得x>1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于等于0是解题的关键．
【变式3-3】（2022上·四川资阳·九年级统考期末）函数y=x-1的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1/1≤x
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得到x-1≥0，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
∴函数y=x-1的自变量x的取值范围是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解此题的关键．

函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
题型04 求自变量的值或函数值
【例4】（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A．y=x+1B．y=-2xC．y=x2-1 D．y=1x
【答案】B
【分析】将(0,0)代入各选项进行判断即可．
【详解】解：A、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项不符合题意；
B、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项符合题意；
C、当x=0时，y=-1，不经过原点，故本选项不符合题意．
D、y=1x中x≠0，故不经过原点，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）已知函数fx=2x-x2，则f3= ．
【答案】-3
【分析】将x=3代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【详解】解：∵fx=2x-x2，
∴f3=2×3-32=-3，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了运用实数的计算，求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算．
题型05 函数图象的识别
【例5】（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】苹果下落时，在重力的作用下速度逐渐增大，据此求解即可．
【详解】解：苹果下落时重力势能转化为动能，速度随时间的增大而变大，根据此特点可知，选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象，试题跨物理学科，是生活中的常见现象，解题的关键是识别函数图象．
【变式5-1】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题．
【详解】解；由题意得：甲跑到B地所花费的时间为：15÷15=1h，甲在B地休息的时间为0.5h，甲从B地跑到C地花费的时间为：20-15÷10=0.5h，总共花费时间为1+0.5+0.5=2h，
乙跑到C地所花费的时间为：20÷12=53h-2，那么a的取值范围是______．
【答案】(1)-3；-1
(2)见解析
(3)①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)
(4)-1.5