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第8讲 平面直角坐标系与函数（强化训练）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练
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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第八讲 平面直角坐标系与函数
考点一 点坐标的特征 2
考点二 图形在坐标系中的旋转 5
考点三 图形在坐标系中的平移 12
考点四 坐标系中的动点问题 18
考点五 自变量的取值范围 23
考点六 函数图像的简单应用 24
考点一 点坐标的特征
1．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为( )
A．(5，﹣3) B．(﹣5，3) C．(3，﹣5) D．(﹣3，5)
【解答】解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为(﹣3，5)．
故选：D．
2．如果点A(3，m)在x轴上，那么点B(m+2，m﹣3)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵A(3，m)在x轴上，
∴m＝0，
∴m+2＝2，m﹣3＝﹣3，
∴B(m+2，m﹣3)所在的象限是第四象限．
故选：D．
3．若点A(2m，2﹣m)和点B(3+n，n)关于y轴对称，则m、n的值为( )
A．m＝1，n＝﹣1 B．，
C．m＝﹣5，n＝7 D．，
【解答】解：∵点A(2m，2﹣m)和点B(3+n，n)关于y轴对称，
∴2m+3+n＝0，2﹣m＝n，
解得：m＝﹣5，n＝7，
故选：C．
4．已知点P(a，3)、Q(﹣2，b)关于y轴对称，则的值是( )
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：∵点P(a，3)、Q(﹣2，b)关于y轴对称，
∴a＝2，b＝3，
∴＝＝﹣5，
故选：A．
5．若点P(2a﹣1，3)关于y轴对称的点为Q(3，b)，则点M(a，b)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(﹣1，﹣3) D．(1，﹣3)
【解答】解：∵点P(2a﹣1，3)关于y轴对称的点为Q(3，b)，
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M(﹣1，3)，关于x轴对称的点的坐标为：(﹣1，﹣3)．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点A(m﹣1，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝2
【解答】解：∵点A(m﹣1，2)与点B(3，n)关于y轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，n＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：D．
7．点A(3，2)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为( )
A．(3，2) B．(﹣3，﹣2) C．(﹣3，2) D．(3，﹣2)
【解答】解：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为B，
∴B(3，﹣2)，
故选：D．
8．若点P(a，2)和点Q(﹣3，b)关于原点对称，那么a，b的值分别为( )
A．3，2 B．3，﹣2 C．﹣2，3 D．2，﹣3
【解答】解：∵点P(a，2)和点Q(﹣3，b)关于原点对称，
∴a＝﹣(﹣3)＝3，b＝﹣2．
故选：B．
9．已知点P(m2+1，﹣1)与点Q关于原点对称，则点Q一定在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点P(m2+1，﹣1)与点Q关于原点对称，
∴Q(﹣m2﹣1，1)，
∵﹣m2﹣1＜0，1＞0，
∴点Q一定在第二象限，
故选：B．
10．已知直角坐标平面内两点A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，则A、B两点间的距离等于 2 ．
【解答】解：∵直角坐标平面内两点 A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，
∴A、B两点间的距离等于＝2，
故答案为2．
11．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)若A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，试求A、B两点间的距离；
(2)若C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，试求C、D两点间的距离．
(3)若已知一个三角形各顶点坐标为E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由．
【解答】解：(1)∵A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，
∴AB＝＝13；
(2)∵C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，
∴CD＝|3﹣(﹣2)|＝5；
(3)△EFG为等腰直角三角形，理由为：
∵E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，
∴EF＝＝2，
EG＝＝2，
FG＝|2﹣(2)|＝4，
∵(2)2+(2)2＝42，
则△EFG为等腰直角三角形．
12．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
(2)已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【解答】解：(1)A，B两点间的距离＝＝4；
(2)∵线段MN∥y轴，
∴M、N的横坐标相同，
设N(2，t)，
∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
∴N点坐标为(2，3)或(2，﹣5)；
(3)△DEF为等腰三角形．
理由如下：
∵D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
考点二 图形在坐标系中的旋转
1．如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(﹣3，4)，B(3，4)．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(﹣3，10) C．(10，﹣3) D．(3，﹣10)
【解答】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D(﹣3，10)，
∵每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022＝4×505+2，
∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为(3，﹣10)．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为(1，0)，AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为( )
A．(﹣4，﹣2﹣) B．(﹣4，﹣2+) C．(﹣2，﹣2+) D．(﹣2，﹣2﹣)
【解答】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示，
∵AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝4
∴AB＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝3，
∵点B坐标为(1，0)，
∴A点的坐标为(4，)，
∵BD＝3，
∴BD1＝3，
∴D1坐标为(﹣2，0)
∴A1坐标为(﹣2，﹣)，
∵再向下平移2个单位，
∴A′的坐标为(﹣2，﹣﹣2)，
故选：D．
3．如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，∠AOB＝90°，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OC是△OAB的中线，点C的坐标为(2，3)，将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为( )
A．(4，﹣4) B．(2，﹣4) C．(3，﹣3) D．(3，﹣3)
【解答】解：∵AC＝CB，C(2，3)，
∴A(0，6)，B(4，0)，
∴OA＝6，
第1次点A的坐标为(﹣3，3)，
第2次点A的坐标为(﹣6，0)，
第3次点A的坐标为(﹣3，﹣3)，
第4次点A的坐标为(0，6)，
第5次点A的坐标为(3，﹣3)，
第6次点A的坐标为(6，0)，
第7次点A的坐标为(3，3)，
第8次点A的坐标为(0，6)，
8次应该循环，
∵2021÷8＝252•••5，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为(3，﹣3)，
故选：C．
4．如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA＝2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105°至△OCD的位置，则点D的坐标为( )
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，﹣)
【解答】解：过D作DE⊥y轴于E，
∴∠DEO＝90°，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴于F，
∴∠BOF＝30°，
∵将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105°至△OCD的位置，
∴∠BOD＝105°，OD＝OB＝2，
∴∠DOE＝45°，
∴OE＝DE＝OD＝，
∴点D的坐标为(，﹣)，
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为( )
A．(﹣1，1) B． C．(﹣1，﹣1) D．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B(1，1)，
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1(0，)，B2(﹣1，1)，B3(﹣，0)，B4(﹣1，﹣1)，…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为(﹣1，﹣1)
故选：C．
6．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(4，0)，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是( )
A．3 B．5 C． D．2
【解答】解：∵A(2，0)，
∴OA＝2，
设P(0，m)，则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ(AAS)，
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q(m，m+2)，
∵B(4，0)，
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
二．填空题(共1小题)
7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为 (5，2) ．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为(0，3)；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为(2，0)，
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为(5，2)．
故答案为(5，2)．
考点三 图形在坐标系中的平移
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(﹣1，0)，AC＝2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是( )
A．(﹣1，2) B．(﹣4，2) C．(3，2) D．(2，2)
【解答】解：∵点C的坐标为(﹣1，0)，AC＝2，
∴点A的坐标为(﹣3，0)，
如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为(﹣1，2)，
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为(2，2)，
故选：D．
2．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝3，将△ABC先绕C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(1，﹣3) D．(﹣1，﹣3)
【解答】解：∵点C的坐标为(1，0)，AC＝3，
∴点A的坐标为(4，0)，
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点坐标为(1，﹣3)，
再向左平移2个单位长度，
则变换后点A的对应点坐标为(﹣1，﹣3)．
故选：D．
二．填空题(共4小题)
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为 (4，2) ，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC．则点P的坐标为 (0，4)或(0，﹣4) ．
【解答】解：∵点B的坐标为(3，0)，将点B向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D，
∴D(4，2)；
设点P到AB的距离为h，
S△PAB＝×AB×h＝2h，
由S△PAB＝S四边形ABDC，得2h＝8，
解得h＝4，
∴P(0，4)或(0，﹣4)．
故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，﹣4)．
4．如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 (4，3) ．
【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为(1，3)，
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C(4，3)，
故答案为(4，3)．
5．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上，将线段AB向上平移2个单位．再向右平移1个单位，得到线段CD，连接AC，BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABDC面积的一半，则点P的坐标为 (0，0)或(0，4) ．
【解答】解：由平移可得，C(0，2)，D(4，2)，
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD面积＝4×2＝8，
又∵△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，
∴△PCD的面积为4，
即×CD×CP＝4，
∴CP＝2，
∴当点P在CD下方时，P(0，0)；当点P在CD上方时，P(0，4)，
故答案为：(0，0)或(0，4)．
6．如图，已知A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，将AB向右平移到CD的位置，S四边形ABDC＝a(a＞30)，若E(m，n)为四边形ABDC内一点，且S△ABE＝5，则m与n的数量关系为 n＝4m﹣8 ，m的取值范围是 1.5＜m＜2.5 ．
【解答】解：如图，过点E作AB的平行线，交x轴于K，设K(a，0)，AB交x轴于G，
∵S△ABE＝5，
∴点E在平行于AB的直线EK上．
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝4x+2，
当y＝0时，4x+2＝0，解得x＝﹣，
∴G(﹣，0)，
∵AB∥EK，
∴S△ABE＝S△ABK＝×(a+)×4＝5，
解得a＝2，
∴K(2，0)，
∴点E在直线y＝4x﹣8上，
∵E(m，n)，
∴n＝4m﹣8(1.5＜m＜2.5)．
故答案为n＝4m﹣8，1.5＜m＜2.5．
三．解答题(共2小题)
7．如图，在△ABC中；
(1)画△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的△A′B′C′；
(2)写出平移后A′、B′、C′三点的坐标．
(3)求三角形ABC的面积．
【解答】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)由图可知，A′(3，1)、B′(5，﹣2)、C′(0，﹣4)；
(3)三角形ABC的面积为：5×5﹣3×5﹣2×3﹣2×5＝．
8．如图，△ABC在直角坐标系中，
(1)请写出△ABC各顶点的坐标；
(2)若把△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A'B'C'，写出A'、B'、C'的坐标，并在图中画出平移后图形；
(3)求出三角形ABC的面积．
(4)若线段AB交y轴与点P，直接写出点P的坐标．
【解答】解：(1)A(﹣2，﹣2)，B(3，1)，C(0，2)；
(2)如图，△A'B'C'即为所求；
A'(0，1)，B'(5，4)，C'(2，5)；
(3)三角形ABC的面积为：
5×4﹣1×3﹣2×4﹣3×5＝7．
(4)P(0，﹣)．
考点四 坐标系中的动点问题
1．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 (0，6) ．
【解答】解：∵A(1，4)，B(3，0)，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，
此时C(0，6)
故答案为(0，6)
2．如图，已知A(1，2)、B(﹣3，1)，点P在x轴上，则当AP+BP最小时，点P的坐标为 (﹣，0) ．
【解答】解：作点B(﹣3，1)关于x轴对称点B'，
则B'(﹣3，﹣1)，
连接AB'交x轴于P，
则AB'＝PA+PB的最小值，
设直线解析式为y＝kx+b，把A(1，2)、B'(﹣3，﹣1)分别代入解析式得，
解得，
∴y＝，
当y＝0时＝0
解得x＝﹣，
P(﹣，
故答案为(﹣，0)．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，连接AC、BC，当△ABC的周长最小值时，△ABC的面积为 3 ．
【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C′，
此时△ABC′的周长最小，
设直线A′B 的解析式为y＝kx+b，
∵A′(﹣1，4)，B(3，0)，
∴，
∴k＝﹣1，b＝3，
∴直线A′B 的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C′(0，3)，
∴S△ABC＝S△AA′B﹣S△AA′C′
＝2×4﹣2×1
＝4﹣1＝3．
所以△ABC′的面积为3．
故答案为：3．
4．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 5 ．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4，3)，
∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，
∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
二．解答题(共1小题)
5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
(1)求出AB的长．
(2)求出△ABC的周长的最小值？
【解答】解：(1)作AD⊥OB于D，如图1所示：
则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，
∴BD＝3﹣1＝2，
∴AB＝＝2；
(2)要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
作A′E⊥x轴于E，
由对称的性质得：AC＝A′C，
则AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，
∴BE＝4，
由勾股定理得：A′B＝＝4，
∴△ABC的周长的最小值为2+4．
考点五 自变量的取值范围
1．函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠﹣3 D．x≥﹣2且x≠﹣3
【解答】解：∵x+2≥0，
解得x≥﹣2．
∵3+x≠0，
∴x≠﹣3．
∴自变量x的取值范围是x≥﹣2．
故选：B．
2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【解答】解：由题意得，x+1≥0，1+x≠0，
解得，x＞﹣1，
故选：B．
3．在函数中，自变量的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解答】解：要使函数意义，则6x﹣2≥0，
解得x，
故选：C．
4．函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2且x≠1，
∴x≥2．
故选：B．
5．在函数y＝+(x﹣3)0中自变量x的取值范围是 x＞﹣3，且x≠3 ．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案为：x＞﹣3，且x≠3．
考点六 函数图像的简单应用
1．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：
砝码的质量x/g
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：
由表格得点(0，2)，(250，7)，
设直线的解析式为y＝kx+b
得，，解得
即直线的解析式为：，
将点(200，7.5)，(275，7.5)，(300，7.5)，(350，7.5)分别代入得，
仅点(275，7.5)满足上述解析式．
故选：B．
2．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
3．如图所示的图象(折线ABCDE)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：汽车从出发地到目的地走了140千米，又回到出发地因而共行驶了280千米，故①错误；
汽车在行驶途中停留了4﹣3＝1小时，故②正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为：280÷9＝(千米/时)，故③错误；
汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度不变，故④错误．
综上所述，正确的只有②．
故选：A．
4．一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发t小时后与兰州的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：根据出发时与终点这两个特殊点的意义，图象能大致反映s与t之间的函数关系的是应选A．
故选：A．
5．小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快( )
A．200 B．80 C．140 D．120
【解答】解：由题意，得小明步行的速度为400÷5＝80(米/分钟)，
小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：16﹣5×2＝6(分钟)，
小明骑车速度为：1200÷6＝200(米/分钟)，
小明骑车比步行的速度每分钟快：200﹣80＝120(米/分钟)．
故选：D．
6．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯(如图1所示，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形)．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，图2是容器最高水位h与注水时间t之间关系的图象，那么，桶口的半径是杯口半径的( )倍
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，
当t＝1时，h＝2，此时杯子刚好注满；当t＝4时，h＝2，说明此时塑料桶内水的高度刚好与杯子高度相同，
所以塑料桶的底面积是杯子底面积的4倍，
所以桶口的半径是杯口半径的2倍．
故选：B．
7．船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y表示的是小艇离乙港的距离，小艇从甲港出发，
∴图像第一段为从左向右下降趋势，
∵离开甲港不久又原速返回乙港，
∴图像第二段从左向右上升趋势且倾斜程度与第一段相同，
∵到达甲港后找东西耽误了一段时间，
∴图像第三段从左向右是平线，
∵为了按时到达，小艇重新往乙港走加快了速度，
∴最后一段图像是从左向右下降的趋势且倾斜程度比第一段和第二段陡．
故选：B．
8．有这样一个问题：求函数y＝x+(x＞0)的最小值．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
x
…
1
2
3
…
y
…
2
…
(1)表是y与x的几组对应值，请根据表格画出y＝x+(＞0)的图象；
(2)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：x＝ 1 时，y取最小值为 2 ；
(3)对(2)中的结论进行证明；
(4)不等式2x+≥(x＞)的解集为 x≥或＜x≤ ．
【解答】解：(1)函数图象如图所示：
(2)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：x＝1时，y取最小值为2，
故答案为：1，2；
(3)y＝x+＝(+)2﹣2＝()2+()2+2﹣2＝(﹣)2+2，
∵(﹣)2≥0，
∴(﹣)2+2的最小值为2，
此时，﹣＝0，解得：x＝1，
∴x＝1时，y取最小值为2，；
(4)2x+≥(x＞)两边减3得2x﹣3+≥﹣3，
∴2x﹣3+≥，
∵x＞，
∴2x﹣3＞0，
由表格中的数据及图象得：2x﹣3＞2或0＜2x﹣3＜时，y＝x+＞，
2x﹣3≥2时，解得：x≥，
0＜2x﹣3≤时，解得：＜x≤，
∴不等式2x+≥(x＞)的解集为x≥或＜x≤，
故答案为：x≥或＜x≤．
中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第八讲 平面直角坐标系与函数
考点一 点坐标的特征 2
考点二 图形在坐标系中的旋转 5
考点三 图形在坐标系中的平移 12
考点四 坐标系中的动点问题 18
考点五 自变量的取值范围 23
考点六 函数图像的简单应用 24
考点一 点坐标的特征
1．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为( )
A．(5，﹣3) B．(﹣5，3) C．(3，﹣5) D．(﹣3，5)
【解答】解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为(﹣3，5)．
故选：D．
2．如果点A(3，m)在x轴上，那么点B(m+2，m﹣3)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵A(3，m)在x轴上，
∴m＝0，
∴m+2＝2，m﹣3＝﹣3，
∴B(m+2，m﹣3)所在的象限是第四象限．
故选：D．
3．若点A(2m，2﹣m)和点B(3+n，n)关于y轴对称，则m、n的值为( )
A．m＝1，n＝﹣1 B．，
C．m＝﹣5，n＝7 D．，
【解答】解：∵点A(2m，2﹣m)和点B(3+n，n)关于y轴对称，
∴2m+3+n＝0，2﹣m＝n，
解得：m＝﹣5，n＝7，
故选：C．
4．已知点P(a，3)、Q(﹣2，b)关于y轴对称，则的值是( )
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：∵点P(a，3)、Q(﹣2，b)关于y轴对称，
∴a＝2，b＝3，
∴＝＝﹣5，
故选：A．
5．若点P(2a﹣1，3)关于y轴对称的点为Q(3，b)，则点M(a，b)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(﹣1，﹣3) D．(1，﹣3)
【解答】解：∵点P(2a﹣1，3)关于y轴对称的点为Q(3，b)，
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M(﹣1，3)，关于x轴对称的点的坐标为：(﹣1，﹣3)．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点A(m﹣1，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝2
【解答】解：∵点A(m﹣1，2)与点B(3，n)关于y轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，n＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：D．
7．点A(3，2)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为( )
A．(3，2) B．(﹣3，﹣2) C．(﹣3，2) D．(3，﹣2)
【解答】解：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为B，
∴B(3，﹣2)，
故选：D．
8．若点P(a，2)和点Q(﹣3，b)关于原点对称，那么a，b的值分别为( )
A．3，2 B．3，﹣2 C．﹣2，3 D．2，﹣3
【解答】解：∵点P(a，2)和点Q(﹣3，b)关于原点对称，
∴a＝﹣(﹣3)＝3，b＝﹣2．
故选：B．
9．已知点P(m2+1，﹣1)与点Q关于原点对称，则点Q一定在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点P(m2+1，﹣1)与点Q关于原点对称，
∴Q(﹣m2﹣1，1)，
∵﹣m2﹣1＜0，1＞0，
∴点Q一定在第二象限，
故选：B．
10．已知直角坐标平面内两点A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，则A、B两点间的距离等于 2 ．
【解答】解：∵直角坐标平面内两点 A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，
∴A、B两点间的距离等于＝2，
故答案为2．
11．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)若A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，试求A、B两点间的距离；
(2)若C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，试求C、D两点间的距离．
(3)若已知一个三角形各顶点坐标为E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由．
【解答】解：(1)∵A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，
∴AB＝＝13；
(2)∵C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，
∴CD＝|3﹣(﹣2)|＝5；
(3)△EFG为等腰直角三角形，理由为：
∵E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，
∴EF＝＝2，
EG＝＝2，
FG＝|2﹣(2)|＝4，
∵(2)2+(2)2＝42，
则△EFG为等腰直角三角形．
12．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
(2)已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【解答】解：(1)A，B两点间的距离＝＝4；
(2)∵线段MN∥y轴，
∴M、N的横坐标相同，
设N(2，t)，
∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
∴N点坐标为(2，3)或(2，﹣5)；
(3)△DEF为等腰三角形．
理由如下：
∵D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
考点二 图形在坐标系中的旋转
1．如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(﹣3，4)，B(3，4)．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(﹣3，10) C．(10，﹣3) D．(3，﹣10)
【解答】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D(﹣3，10)，
∵每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022＝4×505+2，
∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为(3，﹣10)．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为(1，0)，AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为( )
A．(﹣4，﹣2﹣) B．(﹣4，﹣2+) C．(﹣2，﹣2+) D．(﹣2，﹣2﹣)
【解答】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示，
∵AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝4
∴AB＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝3，
∵点B坐标为(1，0)，
∴A点的坐标为(4，)，
∵BD＝3，
∴BD1＝3，
∴D1坐标为(﹣2，0)
∴A1坐标为(﹣2，﹣)，
∵再向下平移2个单位，
∴A′的坐标为(﹣2，﹣﹣2)，
故选：D．
3．如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，∠AOB＝90°，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OC是△OAB的中线，点C的坐标为(2，3)，将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为( )
A．(4，﹣4) B．(2，﹣4) C．(3，﹣3) D．(3，﹣3)
【解答】解：∵AC＝CB，C(2，3)，
∴A(0，6)，B(4，0)，
∴OA＝6，
第1次点A的坐标为(﹣3，3)，
第2次点A的坐标为(﹣6，0)，
第3次点A的坐标为(﹣3，﹣3)，
第4次点A的坐标为(0，6)，
第5次点A的坐标为(3，﹣3)，
第6次点A的坐标为(6，0)，
第7次点A的坐标为(3，3)，
第8次点A的坐标为(0，6)，
8次应该循环，
∵2021÷8＝252•••5，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为(3，﹣3)，
故选：C．
4．如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA＝2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105°至△OCD的位置，则点D的坐标为( )
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，﹣)
【解答】解：过D作DE⊥y轴于E，
∴∠DEO＝90°，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴于F，
∴∠BOF＝30°，
∵将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105°至△OCD的位置，
∴∠BOD＝105°，OD＝OB＝2，
∴∠DOE＝45°，
∴OE＝DE＝OD＝，
∴点D的坐标为(，﹣)，
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为( )
A．(﹣1，1) B． C．(﹣1，﹣1) D．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B(1，1)，
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1(0，)，B2(﹣1，1)，B3(﹣，0)，B4(﹣1，﹣1)，…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为(﹣1，﹣1)
故选：C．
6．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(4，0)，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是( )
A．3 B．5 C． D．2
【解答】解：∵A(2，0)，
∴OA＝2，
设P(0，m)，则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ(AAS)，
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q(m，m+2)，
∵B(4，0)，
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
二．填空题(共1小题)
7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为 (5，2) ．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为(0，3)；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为(2，0)，
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为(5，2)．
故答案为(5，2)．
考点三 图形在坐标系中的平移
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(﹣1，0)，AC＝2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是( )
A．(﹣1，2) B．(﹣4，2) C．(3，2) D．(2，2)
【解答】解：∵点C的坐标为(﹣1，0)，AC＝2，
∴点A的坐标为(﹣3，0)，
如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为(﹣1，2)，
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为(2，2)，
故选：D．
2．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝3，将△ABC先绕C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(1，﹣3) D．(﹣1，﹣3)
【解答】解：∵点C的坐标为(1，0)，AC＝3，
∴点A的坐标为(4，0)，
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点坐标为(1，﹣3)，
再向左平移2个单位长度，
则变换后点A的对应点坐标为(﹣1，﹣3)．
故选：D．
二．填空题(共4小题)
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为 (4，2) ，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC．则点P的坐标为 (0，4)或(0，﹣4) ．
【解答】解：∵点B的坐标为(3，0)，将点B向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D，
∴D(4，2)；
设点P到AB的距离为h，
S△PAB＝×AB×h＝2h，
由S△PAB＝S四边形ABDC，得2h＝8，
解得h＝4，
∴P(0，4)或(0，﹣4)．
故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，﹣4)．
4．如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 (4，3) ．
【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为(1，3)，
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C(4，3)，
故答案为(4，3)．
5．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上，将线段AB向上平移2个单位．再向右平移1个单位，得到线段CD，连接AC，BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABDC面积的一半，则点P的坐标为 (0，0)或(0，4) ．
【解答】解：由平移可得，C(0，2)，D(4，2)，
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD面积＝4×2＝8，
又∵△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，
∴△PCD的面积为4，
即×CD×CP＝4，
∴CP＝2，
∴当点P在CD下方时，P(0，0)；当点P在CD上方时，P(0，4)，
故答案为：(0，0)或(0，4)．
6．如图，已知A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，将AB向右平移到CD的位置，S四边形ABDC＝a(a＞30)，若E(m，n)为四边形ABDC内一点，且S△ABE＝5，则m与n的数量关系为 n＝4m﹣8 ，m的取值范围是 1.5＜m＜2.5 ．
【解答】解：如图，过点E作AB的平行线，交x轴于K，设K(a，0)，AB交x轴于G，
∵S△ABE＝5，
∴点E在平行于AB的直线EK上．
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝4x+2，
当y＝0时，4x+2＝0，解得x＝﹣，
∴G(﹣，0)，
∵AB∥EK，
∴S△ABE＝S△ABK＝×(a+)×4＝5，
解得a＝2，
∴K(2，0)，
∴点E在直线y＝4x﹣8上，
∵E(m，n)，
∴n＝4m﹣8(1.5＜m＜2.5)．
故答案为n＝4m﹣8，1.5＜m＜2.5．
三．解答题(共2小题)
7．如图，在△ABC中；
(1)画△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的△A′B′C′；
(2)写出平移后A′、B′、C′三点的坐标．
(3)求三角形ABC的面积．
【解答】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)由图可知，A′(3，1)、B′(5，﹣2)、C′(0，﹣4)；
(3)三角形ABC的面积为：5×5﹣3×5﹣2×3﹣2×5＝．
8．如图，△ABC在直角坐标系中，
(1)请写出△ABC各顶点的坐标；
(2)若把△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A'B'C'，写出A'、B'、C'的坐标，并在图中画出平移后图形；
(3)求出三角形ABC的面积．
(4)若线段AB交y轴与点P，直接写出点P的坐标．
【解答】解：(1)A(﹣2，﹣2)，B(3，1)，C(0，2)；
(2)如图，△A'B'C'即为所求；
A'(0，1)，B'(5，4)，C'(2，5)；
(3)三角形ABC的面积为：
5×4﹣1×3﹣2×4﹣3×5＝7．
(4)P(0，﹣)．
考点四 坐标系中的动点问题
1．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 (0，6) ．
【解答】解：∵A(1，4)，B(3，0)，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，
此时C(0，6)
故答案为(0，6)
2．如图，已知A(1，2)、B(﹣3，1)，点P在x轴上，则当AP+BP最小时，点P的坐标为 (﹣，0) ．
【解答】解：作点B(﹣3，1)关于x轴对称点B'，
则B'(﹣3，﹣1)，
连接AB'交x轴于P，
则AB'＝PA+PB的最小值，
设直线解析式为y＝kx+b，把A(1，2)、B'(﹣3，﹣1)分别代入解析式得，
解得，
∴y＝，
当y＝0时＝0
解得x＝﹣，
P(﹣，
故答案为(﹣，0)．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，连接AC、BC，当△ABC的周长最小值时，△ABC的面积为 3 ．
【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C′，
此时△ABC′的周长最小，
设直线A′B 的解析式为y＝kx+b，
∵A′(﹣1，4)，B(3，0)，
∴，
∴k＝﹣1，b＝3，
∴直线A′B 的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C′(0，3)，
∴S△ABC＝S△AA′B﹣S△AA′C′
＝2×4﹣2×1
＝4﹣1＝3．
所以△ABC′的面积为3．
故答案为：3．
4．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 5 ．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4，3)，
∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，
∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
二．解答题(共1小题)
5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
(1)求出AB的长．
(2)求出△ABC的周长的最小值？
【解答】解：(1)作AD⊥OB于D，如图1所示：
则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，
∴BD＝3﹣1＝2，
∴AB＝＝2；
(2)要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
作A′E⊥x轴于E，
由对称的性质得：AC＝A′C，
则AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，
∴BE＝4，
由勾股定理得：A′B＝＝4，
∴△ABC的周长的最小值为2+4．
考点五 自变量的取值范围
1．函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠﹣3 D．x≥﹣2且x≠﹣3
【解答】解：∵x+2≥0，
解得x≥﹣2．
∵3+x≠0，
∴x≠﹣3．
∴自变量x的取值范围是x≥﹣2．
故选：B．
2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【解答】解：由题意得，x+1≥0，1+x≠0，
解得，x＞﹣1，
故选：B．
3．在函数中，自变量的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解答】解：要使函数意义，则6x﹣2≥0，
解得x，
故选：C．
4．函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2且x≠1，
∴x≥2．
故选：B．
5．在函数y＝+(x﹣3)0中自变量x的取值范围是 x＞﹣3，且x≠3 ．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案为：x＞﹣3，且x≠3．
考点六 函数图像的简单应用
1．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：
砝码的质量x/g
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：
由表格得点(0，2)，(250，7)，
设直线的解析式为y＝kx+b
得，，解得
即直线的解析式为：，
将点(200，7.5)，(275，7.5)，(300，7.5)，(350，7.5)分别代入得，
仅点(275，7.5)满足上述解析式．
故选：B．
2．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
3．如图所示的图象(折线ABCDE)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：汽车从出发地到目的地走了140千米，又回到出发地因而共行驶了280千米，故①错误；
汽车在行驶途中停留了4﹣3＝1小时，故②正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为：280÷9＝(千米/时)，故③错误；
汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度不变，故④错误．
综上所述，正确的只有②．
故选：A．
4．一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发t小时后与兰州的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：根据出发时与终点这两个特殊点的意义，图象能大致反映s与t之间的函数关系的是应选A．
故选：A．
5．小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快( )
A．200 B．80 C．140 D．120
【解答】解：由题意，得小明步行的速度为400÷5＝80(米/分钟)，
小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：16﹣5×2＝6(分钟)，
小明骑车速度为：1200÷6＝200(米/分钟)，
小明骑车比步行的速度每分钟快：200﹣80＝120(米/分钟)．
故选：D．
6．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯(如图1所示，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形)．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，图2是容器最高水位h与注水时间t之间关系的图象，那么，桶口的半径是杯口半径的( )倍
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，
当t＝1时，h＝2，此时杯子刚好注满；当t＝4时，h＝2，说明此时塑料桶内水的高度刚好与杯子高度相同，
所以塑料桶的底面积是杯子底面积的4倍，
所以桶口的半径是杯口半径的2倍．
故选：B．
7．船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y表示的是小艇离乙港的距离，小艇从甲港出发，
∴图像第一段为从左向右下降趋势，
∵离开甲港不久又原速返回乙港，
∴图像第二段从左向右上升趋势且倾斜程度与第一段相同，
∵到达甲港后找东西耽误了一段时间，
∴图像第三段从左向右是平线，
∵为了按时到达，小艇重新往乙港走加快了速度，
∴最后一段图像是从左向右下降的趋势且倾斜程度比第一段和第二段陡．
故选：B．
8．有这样一个问题：求函数y＝x+(x＞0)的最小值．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
x
…
1
2
3
…
y
…
2
…
(1)表是y与x的几组对应值，请根据表格画出y＝x+(＞0)的图象；
(2)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：x＝ 1 时，y取最小值为 2 ；
(3)对(2)中的结论进行证明；
(4)不等式2x+≥(x＞)的解集为 x≥或＜x≤ ．
【解答】解：(1)函数图象如图所示：
(2)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：x＝1时，y取最小值为2，
故答案为：1，2；
(3)y＝x+＝(+)2﹣2＝()2+()2+2﹣2＝(﹣)2+2，
∵(﹣)2≥0，
∴(﹣)2+2的最小值为2，
此时，﹣＝0，解得：x＝1，
∴x＝1时，y取最小值为2，；
(4)2x+≥(x＞)两边减3得2x﹣3+≥﹣3，
∴2x﹣3+≥，
∵x＞，
∴2x﹣3＞0，
由表格中的数据及图象得：2x﹣3＞2或0＜2x﹣3＜时，y＝x+＞，
2x﹣3≥2时，解得：x≥，
0＜2x﹣3≤时，解得：＜x≤，
∴不等式2x+≥(x＞)的解集为x≥或＜x≤，
故答案为：x≥或＜x≤．
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