初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.3 因式分解法同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.3 因式分解法同步测试题，文件包含人教版数学九年级上册同步分层练习2123因式分解法原卷版doc、人教版数学九年级上册同步分层练习2123因式分解法解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
考查题型一 用因式分解法解方程
1．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）用适当的方法解方程：．
【答案】，
【分析】先移项，再提公因式即可求解．
【详解】解：
，
或
解得：，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．
【答案】
【分析】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可
【详解】（1）解：，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.
4．解下列一元二次方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案；
（2）移项，利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：因式分解可得，
，
∴或，
解得：，，
故方程的解为： ，；
（2）解：移项得，
，
因式分解可得，
，
∴，，
解得：，；
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解方程．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：
【答案】，
【分析】移项，然后用因式分解法解方程即可．
【详解】解：移项整理得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
6．（2023·安徽马鞍山·校考一模）解下列方程：．
【答案】，
【分析】首先移项，把方程的右边化成，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：移项，得：
则
则或
解得：，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．
考查题型二 用换元法解方程
1．（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)原方程的根是；
(2)原方程的根是．
【分析】(1)设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根；
(2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根．
【详解】（1）设，则原方程可化为
解得∶
当时，，解得
当时，，方程无解
原方程的根是；
（2）设，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当时，，解得
当时，，方程无解
经检验∶都是原方程的解
原方程的根是．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知，求的值．
【答案】3
【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可 ．
【详解】解：设，
据题意，得．
解得．
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键．
3．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ．
(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．
【详解】（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
4．（2021秋·山西临汾·九年级校考期末）阅读与思考：
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：
①；
②．
【答案】(1)转化
(2)①或；②
【分析】根据题中给出的解一元二次方程的方法即可直接得出结论；
利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的体现了转化的数学思想．
故答案为：转化；
（2）设，原方程可变为，
则，
或，
，，
当时，，解得；
当时，，解得
原方程的解为，，，．
设，原方程可变为，
解得，，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查的是用换元法解一元二次方程，把关于的方程转化为关于的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
1．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】(1)（1，2）
(2)或
(3)存在，，
【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点(2，6)，则方程+bx +c = 0的衍生点M为(2，6)，即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M (1，2)，
该方程的衍生点M的坐标(1，2)，
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M (1，5m)，
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M (5m，1)，
∴5m=1，
∴m=；
当5m < 0时，M (5m，1)，此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
2．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析
(2)或
(3)时，的最大值为9
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
【详解】（1）解：①解方程得：，
或，
，
不是“差1方程”；
②，
∴，
，
是“差1方程”；
（2）解：方程得：，
或，
方程是常数）是“差1方程”，
或，
或；
（3）解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．
3．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
，
，
或，
原方程的解是，．
又如解方程：
，
，
．
原方程的解是．
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3）．
【分析】（1）等式右边展开整理，根据多项式相等，对应项的系数也相等即可求得m，n；
（2）分别用提公因式法和公式法分别因式分解即可；
（3）先通过因式分解法求得方程的解，得到m的值，从而得到的坐标，再利用平面上两点间的距离公式得到PQ长度的表达式，从而得到PQ的最小值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
解得：；
故答案为：-6，3；
（2），；
故答案为：a（a-2），（x-2y）2；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平面上两点间的距离公式有：
∴
故当n=8时，长度有最小值为．
【点睛】本题考查了因式分解在解一元二次方程中的应用，将一元二次方程通过因式分解转化为一次方程求解，这种转化的思想是数学中重要的解决问题的思考方法．
4．阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；
材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；

示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式： ； ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．
【答案】（1），；（2），和
【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；
（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．
【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，
∴原式=；
②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）
满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）
∴原式=；
（2）①
②
∴
∴
当时，
或，（舍），
当时，
或，或（舍）
综上所述，方程的整数解有和；
方法二：
或．
【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．
解方程，解：设，
则原方程可化为：，
解得，
当时，，，
当时，，，
原方程的解为：，，，