北师大版数学八年级上册期末复习专项训练02 实数（2份，原卷版+解析版）

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考点1：考点平方根
（2022春•大观区校级期末）实数4的平方根是
A．B．C．4D．
【分析】根据平方根的定义可知4的平方根有两个，为．
【解答】解：，
的平方根为，
故选：．
（2022春•梁园区期末）平方根等于它本身的数是
A．B．0C．1D．
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：．
（2022春•平邑县期末）的平方根是
A．B．C．D．
【分析】依据平方根的定义回答即可．
【解答】解：，
的平方根是．
故选：．
（2022春•通海县期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值为
A．B．1C．2D．
【分析】根据一个正数的平方根的性质即可求出的值．
【解答】解：由题意可知：，
解得：
故选：．
考点2：非负数的性质：算术平方根
（2022春•曲阜市校级期末）已知，那么的值为
A．B．1C．D．
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
所以
，
故选：．
（2021秋•滨海县期末）已知实数，满足，则等于
A．1B．C．D．3
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，而，，
，，
解得，，
．
故选：．
（2021秋•嵩明县期末）若，则 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
考点3：立方根
（2022春•许昌期末）的立方根为
A．B．C．D．
【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根）解决此题．
【解答】解：．
故选：．
（2021秋•南岗区校级期末）有个数值转换器，程序原理如图．
当输入时，输出的值是
A．2B．C．D．
【分析】将的值代入数值转化器计算即可得到结果．
【解答】解：将代入得：，
将代入得：，
则输出的值为：．
故选：．
（2022春•平山县期末）已知，若，则的值约为
A．326000B．32600C．3.26D．0.326
【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案．
【解答】解：，
，
故选：．
（2021秋•武侯区期末）的立方根是
A．B．3C．D．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：的立方根是，
故选：．
考点4：无理数
（2021秋•驿城区校级期末）在中，无理数的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是有限小数，属于有理数；
，0是整数，属于有理数；
故在中，无理数有，，共2个．
故选：．
（2021秋•惠安县期末）下列各数①；②；③；④；⑤中，无理数的个数是
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环系数）得出即可．
【解答】解：无理数有②③，共2个，
故选：．
考点5：实数的性质
（2022春•高州市期末）实数是2022的
A．绝对值B．相反数C．倒数D．以上都不正确
【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
【解答】解：和2022互为相反数，
故选：．
（2021秋•长海县期末）实数的绝对值是
A．B．C．3D．
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：实数的绝对值是：3．
故选：．
（2021秋•门头沟区期末）的相反数是
A．B．C．D．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
（2021秋•山亭区期末）下列各组数中互为相反数的是
A．与2B．与C．与D．与
【分析】首先根据，可得与2相等；然后根据，可得；再根据互为倒数的含义，可得与互为倒数；最后根据，可得与互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：，
与2相等；
，
；
，
与互为倒数；
据，
与互为相反数．
故选：．
（2021秋•南川区期末）3的绝对值是
A．3B．C．D．
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：3的绝对值是3，
故选：．
（2021秋•武宣县期末）的绝对值是 2 ．
【分析】根据立方根的定义求出的值，再根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：，
的绝对值是2．
故答案为：2．
考点6：实数大小比较
（2021秋•垦利区期末）四个实数，0，，1中，最小的实数是
A．B．0C．D．1
【分析】正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负数绝对值大的反而小，据此即可判定．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
故四个数中最小的是．
故选：．
（2021秋•承德期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中一定比大的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用数轴结合绝对值的性质分别判断得出答案．
【解答】解：由数轴可得：，
．故，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意；
故选：．
（2022春•海淀区期末）比较大小： 4（填“”，“ ”或“” ．
【分析】先估算的值，然后判断即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
（2022春•辛集市期末）比较大小： （填“”、“ ”或“”
【分析】首先利用二次根式的性质可得，再比较大小即可．
【解答】解：，
，
故答案为：．
考点7：估算无理数的大小
（2022春•长沙期末）估计的值在
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而估算的大小即可．
【解答】解：，即，
，
即，
故选：．
（2022春•景县期末）估算的运算结果应在
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】先分别估算出和的值，再相加即可判断答案．
【解答】解：，，
，
的运算结果应在6到7之间．
故选：．
（2021秋•河口区期末）估算的值，下列结论正确的是
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
【解答】解：，
，
，
的值在5和6之间．
故选：．
（2022春•路北区期末）估算的值在
A．之间B．之间C．之间D．之间
【分析】求出，，即可求出的范围，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
即的值在之间．
故选：．
考点8：二次根式的定义
（2022春•漳平市期末）二次根式的值等于
A．B．C．2D．4
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：原式．
故选：．
（2021秋•蓬溪县期末）下列式子中，是二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可．
【解答】解：、是二次根式，所以选项正确；
、根指数为3，所以选项错误；
、当，无意义，所以选项错误；
、无意义，所以选项错误．
故选：．
（2022春•惠阳区期末）若为正整数，则满足条件的的最小正整数值为 5 ．
【分析】先将已知二次根式化简，然后根据题意找出最小被开方数即可得到结果．
【解答】解：，且结果为正整数，
是某数的平方，
又，25是根号内满足条件的最小被开方数，
当时满足题意．
故答案为：5．
考点9：二次根式有意义的条件
（2022春•长葛市期末）要使二次根式有意义，的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则，
解得：．
故选：．
（2022春•汉阴县期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
（2022春•雷州市期末）在实数范围内有意义，实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围．
【解答】解：由题意可知：，
．
故选：．
考点10：二次根式的性质与化简
（2021秋•长沙期末）在实数范围内要使成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质及绝对值的意义列不等式求解．
【解答】解：原式，
，
解得：，
故选：．
（2022春•钟山县期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
原式
，
故选：．
（2022春•荔湾区期末）若，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质得，则，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
（2022春•河东区期末）若成立，则，满足的条件是
A．且B．且C．且D．，异号
【分析】根据，可得与0的关系，与0的关系，可得答案．
【解答】解：成立，
，，
，，
故选：．
考点11：最简二次根式
（2021秋•乌当区期末）下列选项中，最简二次根式是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
、是最简二次根式，本选项符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：．
（2022春•阳新县期末）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：，，，
最简二次根式有①，1个．
故选：．
（2022春•栖霞市期末）在中，最简二次根式的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：，，，，都不是最简二次根式，
是最简二次根式，
故选：．
考点12：二次根式的计算
（2021秋•启东市期末）计算的结果估计在
A．10到11之间B．9到10之间C．8到9之间D．7到8之间
【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式，由于，则，于是有．
【解答】解：原式，
，
，
．
故选：．
（2021秋•曲阳县期末）计算： ．
【分析】先把各个二次根式化简成最简二次根式后计算．
【解答】解：
．
（2022春•敦化市期末）计算： 2 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：2．
（2022春•同安区期末）计算： ．
【分析】根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再进行二次根式的化简．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
（2022春•正阳县期末）计算： 15 ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除法法则计算．
【解答】解：
．
故答案为：15．
（2022春•海淀区期末）化简 ．
【分析】直接合并同类项即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
（2022春•洮北区期末）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
（2022春•周至县期末）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
（2021秋•长春期末）先化简，再求值：，其中，．
【分析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入计算即可求解．
【解答】解：原式
．
当，时，
原式
．
考点13：分母有理化
（2021秋•曲阳县期末）把化去分母中的根号后得
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：，，即，；
．
故选：．
（2021秋•崇川区期末）已知，则的值为
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意，，变形为，两边平方得，代入求值即可．
【解答】解：，
，
两边平方得，，
即，，
两边再平方得，，
化简，得，
把代入，
得，
，
，
，
故选．
解法二：，，
．
故选：．
（2021秋•静安区校级期末）的一个有理化因式是
A．B．C．D．
【分析】找出原式的一个有理化因式即可．
【解答】解：的一个有理化因式是，
故选：．
考点14：同类二次根式
（2021秋•大名县期末）若可以合并为一项，则可以是
A．6B．12C．15D．18
【分析】由可以合并为一项知与是同类二次根式，再将各选项的值代入化简，利用同类二次根式的概念逐一判断即可．
【解答】解：可以合并为一项，
与是同类二次根式，
当时，与不是同类二次根式；
当时，与是同类二次根式；
当时，与不是同类二次根式；
当时，与不是同类二次根式；
故选：．
（2022春•大观区校级期末）实数①，②，③，④中，与是同类二次根式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：，，，，
①③④与是同类二次根式，
故选：．
（2022春•萝北县期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同理二次根式的定义判断即可．
【解答】解：，
、，不能与进行合并；
、，不能与进行合并；
、，不能与进行合并；
、，能与进行合并；
故选：．
（2022春•黔西南州期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则 3 ．
【分析】根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得，
解得．
故答案为：3．
（2022春•宣城期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 4 ．
【分析】把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可．
【解答】解：，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：4．
考点15：二次根式的化简求值
（2021秋•思明区校级期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值是
A．B．3C．D．
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：
，
的整数部分，
则小数部分是：，
，
则
．
故选：．
（2021秋•大名县期末）已知，．则代数式的值为 12 ．
【分析】根据二次根式的减法法则求出，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：，，
，
则，
故答案为：12．
（2022春•合阳县期末）先化简，再求值：已知，，求代数式的值．
【分析】先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
，
．
（2022春•峄城区期末）已知，，则分式的值是
A．2B．C．4D．
【分析】先分解因式，再约分，把，代入原式，计算即可．
【解答】解：
，
当，时，
原式
．
故选：．
（2022春•高青县期末）若，则等于
A．1B．5C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【解答】解：，
，．
，．
．
．
．
故选：．
（2021秋•门头沟区期末）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：．，故符合题意；
，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故不符合题意；
故选：．
（2021秋•青神县期末）已知为实数，规定运算：，，，，，．按上述方法计算：当时，的值等于
A．B．C．D．
【分析】把代入进行计算，找出规律即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
．
，
，
故选：．
（2021秋•仓山区校级期末）若，则：化简的结果为 ．
【分析】先把，根据，利用绝对值的性质进行化简，然后计算．
【解答】解：，
；
故答案为：．
（2021秋•覃塘区期末）计算： ．
【分析】利用平方差公式将进行分母有理化化简即可．
【解答】解：原式，
，
，
，
故答案为：．
（2021秋•顺义区期末）对于任意的正数，，定义运算“”如下：，计算的结果为 ．
【分析】根据题目已知的定义运算进行计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
（2022春•武威期末）已知实数的立方根是4，则的平方根是 ．
【分析】根据立方根的定义求出，再根据算术平方根求出，然后根据平方根的定义解答．
【解答】解：的立方根是4，
，
，
的平方根是，
即．
故答案为：．
（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．
【分析】根据已知可得，所以把转化为，然后再把的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
将
，
故答案为：．
（2022春•沂源县期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么它们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于的方程，进而可求出的值．
【解答】解：由题意可得：
，
解得，
当时，与都是最简二次根式．
因此．
故答案为．
（2022春•芙蓉区校级期末）计算：的结果为 1 ．
【分析】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式，
，
，
故答案为：1．
（2022春•辛集市期末）已知，化简： ．
【分析】根据题意可知，，然后对二次根式进行化简，根据，去绝对值号．
【解答】解：二次根式，
，
，
，
，
故答案为：．
（2022春•冠县期末）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，，将与称为数对的一对“对称数对”．
例如：的一对“对称数对”为，与．
（1）求数对的一对“对称数对”；
（2）若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；
（3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，，求的值．
【分析】（1）根据“对称数对”的定义求解．
（2）根据“对称数对”定义建立关于的方程求解．
（3）根据“对称数对”的定义建立关于，的方程求解．
【解答】解：（1）由题意得：，，
的一对“对称数对”为，与．
（2）由题意，，，
数对的一对“对称数对”的两个数对相同，
，
，
．
（3）由题意得：，或，，
，或，．
或．
（2022春•惠东县期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是和，列出方程解出，再根据的立方根为，列出方程解出；
（2）把、代入计算出代数式的值，然后求它的平方根．
【解答】解：（1）正数的两个不同的平方根是和，
，
解得，
的立方根为，
，
解得
、；
（2）、代入
得，
的平方根是．
（2021秋•松桃县期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：．
解决问题：
化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先把被开方数拆项，再化为完全平方的形式，最后根据二次根式的性质化简；
（2）首先把被开方数拆项，再化为完全平方的形式，最后根据二次根式的性质化简．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
（2022春•克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是和．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）和是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：
解得．
则这个正数是．
（2），则它的平方根是．
（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ；
（3）化简
【分析】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1），
，
故答案为：，．
（2）设
则
，
若令，，则，
故答案为：21，4，1，2．
（3）
（2022春•合肥期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，是△的面积）；
，是△的面积）；
，是△的面积）；
（1）请用含有为正整数）的式子填空： ， ；
（2）求的值；
（3）在线段、、、、中，长度为正整数的线段共有 条．
【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．
（2）化简整理后代入求值．
（3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方．
【解答】解：（1）由已知条件可知，；
故答案为：；；
（2）原式，
．
（3）线段、、、、的长分别是、、、、、．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、、，
，，
，
线段、、、、中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44．