河南省郑州中学2024-2025学年九年级上学期第二次数学综合调研试卷（12月份）

这是一份河南省郑州中学2024-2025学年九年级上学期第二次数学综合调研试卷（12月份），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
2．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．C． D．
3．如图是一个空心圆柱体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
5．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A．千米B．千米C．千米D．千米
6．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
11．在正方形中，，则正方形的周长为 ．
12．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
13．为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业．如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关，，中两个，能让灯泡发光的概率是 ．
14．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
15．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：； （2）计算：．
17．某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（引体向上个数）表示成绩，分成四组：
组（），组（），组（），组（）．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求组人数，并补全条形统计图；
(2)求组对应的圆心角度数；
(3)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数．
18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长度．
19．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．
(1)设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为________元，此时每周可以卖出________个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(3)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．
21．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
(1)求出a，b的值；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
23．在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点．
(2)探究迁移
如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断的度数，并说明理由；
②若，求两点间的距离．
(3)拓展应用
在（2）的条件下，若，请直接写出的长．
抽取八年级的男生成绩条形统计图
抽取八年级的男生成绩扇形统计图
参考答案：
1．C
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，然后因式分解解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
故选：C．
2．A
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
3．D
【分析】根据左视图定义直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
空心圆柱体左视图是矩形，且中间看不到用虚线，
故选D．
【点睛】本题考查简单几何体三视图的判断，解题的关键是熟练掌握三视图的定义及区分实线与虚线．
4．D
【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案．
【详解】如图所示，位似中心是点O．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：
∴千米
故选：A
6．C
【分析】由小路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵小路宽为，
∴种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形．
依题意得：．
故选C．
【点睛】本题考查列一元二次方程、图形的平移，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，
画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是，
故选：D．
8．A
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图象开口向上可得：a>0
由于图像与轴交于负半轴，可知：
根据对称轴公式：可知：
，故①正确
抛物线过点
即：，故②正确
当时，取得最小值
（为任意实数），故③错误
抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且
则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离
根据图像可知：，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．
【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形四边都相等得到正方形的周长即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
∴正方形的周长为，
故答案为：．
12．3
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∴,
又
∴，
∴
∴
故答案为：3
13．
【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：列表如下：
共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况，
则能让灯泡发光的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
15．96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
16．（1），；（2）
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】解：（1）
，；
（2）原式．
【点睛】本题考查解一元二次方程和特殊角的三角函数值的计算，解题的关键是掌握这些计算方法．
17．(1)12人，见解析
(2)
(3)180人
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法．
（1）用C组的人数除以C组的占比，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的人数，即可得出A组的人数，进而补全条形统计图；
（2）用组人数所占比例乘以即可；
（3）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可．
【详解】（1）解：样本容量为：，
故A组人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：由题意得，组对应的圆心角度数；
（3）解：由题意得：（人），
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形是菱形，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．(1)，
(2)售价应定为每个50元
(3)这两周的平均增长率为
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨1元，就少卖10个”求销量即可；
（2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了484个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元，
∵价格每涨1元，就少卖10个，
∴每周可以卖出个数为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵更大优惠让利消费者，
∴，
答：售价应定为每个50元；
（3）解：由（1）得：当售价为每个50元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
答：这两周的平均增长率为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为−3,2，
设反比例函数表达式为，
将−3,2代入，得：，解得，
因此反比例函数表达式为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点D，
由图可得，，
设点C的坐标为，则，，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即，
解得或，
点C在第二象限，
，，
点C坐标为．
22．(1)，；
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将代入即可求解；
（2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可．
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
（2）由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二次则
解得
∴这两个位置之间的距离．
23．(1)
(2)①90°，见解析；②
(3)或
【分析】本题主要考查勾股定理以及逆定理，一次函数图象，轴对称的性质，中心对称的性质
（1）根据轴对称和中心对称的性质以及勾股定理以及逆定理求解即可；
（2）①连接，可得，进而即可求解；②先推出，再根据勾股定理求解即可；
（3）分当点P在正方形外部时，当点P在正方形内部时，结合勾股定理求解即可
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为，
∵，共线，
∴点可以看作是点关于点的对称点，
故答案为：；
（2）①解：连接
由对称性可得：，
∴；
②由（1）可知：共线，
∴
∵，
∴；
（3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，，
∴，
∴，
∴；
②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
D
A
C
D
A
C
C
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）