2024-2025学年河南省郑州外国语中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州外国语中学九年级（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园.下列生态环保图标是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示.每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速(单位：km/ℎ)，右侧数字代表该车道车型的最低通行车速(单位：km/ℎ).王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为v km/ℎ，则车速v的范围是( )
A. 90≤v≤100B. 80≤v≤100C. 60≤v≤100D. 60≤v≤80
3.下列各式从左到右，是因式分解的是( )
A. (y−1)(y+1)=y2−1B. x2y+xy2−1=xy(x+y)−1
C. (x−2)(x−3)=(3−x)(2−x)D. x2−4x+4=(x−2)2
4.若把分式x+yxy中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 扩大2倍B. 不变C. 缩小2倍D. 缩小4倍
5.关于x的一元二次方程x2+mx−4=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(0,3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为( )
A. 13−2 B. 13
C. 13+2 D. − 13+2
7.如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为( )
A. 20°B. 35°C. 40°D. 45°
8.今年央视春晚上，刘谦十分钟的魔术节目《守岁共此时》：每位观众手中都有四张牌，从中间撕开……让观众们大开眼界.现有2张扑克牌，从中间撕开(如图)，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，则能拼成同一张牌的概率是( )
A. 112B. 16C. 13D. 12
9.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形OABC，点A在第二象限内，点B，C在第一象限内，已知OA=5 2，对角线AC，BO交于点M(a,2a)，将正方形OABC向左平移，当点B移动到y轴上时，点M的坐标为( )
A. (− 5,4)B. (−2,2 5)C. (− 3,2 3)D. (− 5,2 5)
10.2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注.据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈.某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为( )
A. 20%B. 22%C. 25%D. 26%
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程1x−1=2x的解为______．
12.如图，将△ABC沿BC方向平移，A′、B′分别是A、B的对应点，且BB′=3，连接AA′，若四边形ABC′A′的周长为16，则△ABC的周长是______．
13.不等式组x−2<11−2x≥−3x的解集为______．
14.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是______．
15.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么______秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程
(1)(2x−1)2=(2−3x)2；
(2)2x2−x−3=0．
17.(本小题8分)
数学活动让数学学习更加有趣.在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．
(1)转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为______；
(2)若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色.(若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动)请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
19.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(k+2)x+2k−1=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根．
20.(本小题8分)
如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题.现我们对函数y=|x+1|(x的取值范围为任意实数)进行探究．
(1)请将表格补充完整．
(2)请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质：______．
(3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数y=−12x+1的图象，并直接写出不等式−12x+1>|x+1|的解集．
21.(本小题8分)
钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首.某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用.经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同．
(1)求茶壶和茶杯的单价．
(2)学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯(茶杯数量大于5)，某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案.方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售，问学校选择哪种方案购买才更省钱？
22.(本小题8分)
已知，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=4，OC=OD=3．

(1)如图1，连接AC，BD，判断AC与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，将△COD绕点O旋转，当点D落在AB边上时，试判断AD，BD，OD之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点A，C，D共线时，请直接写出线段AC的长．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.A
7.B
8.C
9.D
10.A
11.x=2
12.10
13.−1≤x<3
14.52
15.2或4
16.解：(1)(2x−1)2=(2−3x)2，
(2x−1)2−(2−3x)2=0，
[(2x−1)+(2−3x)][(2x−1)−(2−3x)]=0，
(1−x)(5x−3)=0，
∴1−x=0或5x−3=0，
∴x1=1，x2=35．
(2)2x2−x−3=0，
(2x−3)(x+1)=0，
∴2x−3=0或x+1=0，
∴x1=32，x2=−1．
17.(1)13．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有(蓝，红)，(蓝，红)，(红，蓝)，共3种，
∴同时转动A盘和B盘，配成紫色的概率为39=13．
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
在△AGE和△CHF中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
19.(1)证明：由于x2−(k+2)x+2k−1=0是一元二次方程，
Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(2k−1)=k2−4k+8=(k−2)2+4，
无论k取何实数，总有(k−2)2≥0，(k−2)2+4>0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：把x=3代入方程x2−(k+2)x+2k−1=0，
有32−3(k+2)+2k−1=0，
整理，得 2−k=0．
解得 k=2，
此时方程可化为 x2−4x+3=0．
解此方程，得 x1=1，x2=3．
所以方程的另一根为x=1．
20.(1)填表如下：
(2)函数图象如下：
该函数图象的一条性质为：图象关于直线x=−1对称(答案不唯一)．
(3)联立方程组y=丨x+1丨y=−12x+1，
解得x=0y=1，x=−4y=3，
两个函数的交点坐标为(0,1)和(−4,3)．
结合函数图象，不等式−12x+1>|x+1|的解集为−421.解：(1)设茶壶的单价为x元，则茶杯的单价为(x−100)元，
由题意得：100x−100=600x，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，
∴x−100=120−100=20，
答：茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元；
(2)设学校购买m个茶杯，
方案一的费用为：5×120+20(m−5)=(20m+500)(元)，
方案二的费用为：0.9×(5×120+20m)=(18m+540)(元)，
当20m+500=18m+540时，m=20；
当20m+500>18m+540时，m>20；
当20m+500<18m+540时，m<20；
答：当购买茶杯20个时，两种方案的费用一样；当购买茶杯大于20个时，方案二省钱；当购买茶杯小于20个时，方案一省钱．
22.解：(1)AC=BD，AC⊥BD；理由如下：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
OD=OC∠DOB=∠COAOB=OA，
∴△DOB≌△COA(SAS)，
∴BD=AC，∠OAC=∠OBD，
如图1所示，设BD交AC于点E，交AO于点F，

∵∠AFB=∠AOB+∠OBD=∠AEF+∠OAC，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∴AC⊥BD；
(2)AD2+BD2=2OD2，理由如下：
如图2，连接AC，

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB−∠AOD=∠COD−∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
在△BOD与△AOC中，
BO=AO∠BOD=∠AOCOD=OC，
∴△BOD≌△AOC(SAS)，
∴BD=AC，∠B=∠OAC，
∴∠CAD=∠CAO+∠OAB
=∠B+∠OAB
=180°−90°
=90°，
在Rt△COD中，∠COD=90°，CO=DO，
∴CD2=CO2+OD2=2OD2，
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，
∴AC2+AD2=CD2，
又∵BD=AC，CD2=2OD2，
∴BD2+AD2=2OD2；
(3)当点C在AD延长线上时，如图3，设OA交BD于点J，过O作OH⊥CD于点H，

∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AJD=∠BJO，
∴∠ADJ=∠JOB=90°，
∵OC=OD=3，∠COD=90°，OH⊥CD，
∴CD=3 2，CH=HD=OH=12CD=3 22，
∴AH= OA2−OH2= 42−(3 22)2= 462，
∴AC=CH+AH=3 22+ 462=3 2+ 462；
当点C在AD上时，如图4，

同理可得：AH= 462，CH=3 22，
则AC=AH−CH= 462−3 22= 46−3 22，
综上所述，AC的长为3 2+ 462或 46−3 22．
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y=|x+1|
…
3
1
0
1
2
4
…
蓝
红
红
蓝
(蓝，蓝)
(蓝，红)
(蓝，红)
黄
(黄，蓝)
(黄，红)
(黄，红)
红
(红，蓝)
(红，红)
(红，红)
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y=|x+1|
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…