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2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2−4x−1=0B. xy+1=0C. x2−1x−3=0D. x−2=0
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边平行B. 对边相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
3.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形(长30米，宽20米)场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所(羽毛球，乒乓球)如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为( )
A. x2−25x+50=0B. x2−35x+60=0
C. x2−35x=0D. x2−40x+60=0
4.一元二次方程x2+6x+10=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的面积是( )
A. 5B. 10C. 20D. 24
6.形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形( )
A. 关于直线对称的两个图形B. 两个正三角形
C. 两个等腰三角形D. 两个半径不等的圆
7.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，6cm，9cm，12cm
8.下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是( )
A. ∠A=∠D，ACDF=BCEF
B. ∠A=∠D，ABDE=BCEF
C. ∠A=∠D=90°，ABDE=BCEF
D. ∠A=∠D=90°，∠C=55°，∠F=25°
9.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，若AD=4，∠D=45°，则PE+PF的最小值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 2
10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 a+b4，
④四边形AnBnCnDn的面积是 ab2n+1．
A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程(x+1)(x−2)=0的解是______．
12.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于______．
13.一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−1=0的一个根为0，则a=______．
14.某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右.若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ．
15.在平行四边形ABCD中，AB三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)(配方法)x2−6x−7=0；
(2)(任意方法)3x2−1=2x．
17.(本小题9分)
为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同)背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
(1)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为______；
(2)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
18.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AC=8，AE=2，求四边形BEDF的周长．
19.(本小题9分)
已知：关于x的一元二次方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x=−1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值(k为整数)．
20.(本小题9分)
2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
21.(本小题10分)
在等边三角形ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．
(1)用t分别表示BP及BQ的长度，BP=______cm，BQ=______cm；
(2)经过几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
22.(本小题10分)
5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板DEF，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP=1.5米，PG=23.6米，DF=2EF，已知DP⊥PA，MG⊥PA，BC⊥PA，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在MG上，求旗帜的宽度MN．
23.(本小题11分)
【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：x1+x2= ______，x1x2= ______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系.下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2−4ac≥0时，有两个实数根x1= ______，x2= ______．
……
(3)已知关于x的方程2x2+3mx+m2=0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.x2−4x−1=0是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.xy+1=0是二元二次方程，故该选项不符合题意；
C.该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
D.x−2=0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：A．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此解答即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；
B.对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；
C.对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；
D.对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；
故选：D．
根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．
本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为(20−x)m和(30−2x)m，
所以方程为(20−x)(30−2x)=480，
x2−35x+60=0，
故选：B．
如果设休闲娱乐中心的宽度为x米，绿化带的长和宽就应该分别为(20−x)m和(30−2x)m，根据题意可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△=62−4×1×10=36−40=−4<0，
∴此方程无实数根，
故选：D．
求出此方程判别式的值，即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5.【答案】D
【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．
故选：D．
由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线乘积的一半是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；
故选：C．
根据相似图形的概念判断即可．
本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；
B、由于2×2=1×4，所以成比例，符合题意；
C、由于2×8≠4×6，所以不成比例，不符合题意；
D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
8.【答案】C
【解析】解：当∠A=∠D，ACDF=ABDE时，△ABC∽△DEF，所以A选项错误；
当∠B=∠E，ABDE=BCEF时，△ABC∽△DEF，所以B选项错误；
当∠A=∠D=90°，ABDE=BCEF时，△ABC∽△DEF，所以C选项正确；
当∠A=∠D=90°，∠C=55°，∠F=35°时，可判定△ABC与△DEF相似，所以D选项错误．
故选：C．
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对选项A，B进行判断；根据勾股定理和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可对选项C进行判断；根据两角分别相等的两个三角形相似对选项D进行判断．
此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB//CD，
如图，作点F关于AC的对称点N，连接PN，则FP=PN，
∴EP+FP=EP+PN，
∴点E，点P，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，
过点A作AH⊥CD于H，
∴AH//EN，
∴四边形AHNE是平行四边形，
∴AH=EN，
∵∠D=45°，
∴∠DAH=45°=∠D，
∴AH=DH，
在Rt△ADH中，AH2+DH2=AD2=42，
∴2AH2=16，
∴AH=2 2，
∴EN=2 2，
∴EH+FH的最小值为2 2．
故选：D．
作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH=HN，当点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即可求解．
本题考查了菱形的性质和轴对称−最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为菱形ABCD中AD边的高．
10.【答案】B
【解析】解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1//BD，B1C1//BD，C1D1//AC，A1B1//AC；
∴A1D1//B1C1，A1B1//C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等)；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理)，
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=12A3B3=14A1B1=18AC，B5C5=12B3C3=14B1C1=18BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×18(a+b)=a+b4，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是ab2n+1，
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选：B．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
11.【答案】x1=−1，x2=2．
【解析】解：∵(x+1)(x−2)=0，
∴x+1=0，x−2=0，
x1=−1，x2=2．
故答案为x1=−1，x2=2．
根据因式分解法直接解答．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12.【答案】5:8
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.根据平行线分线段成比例定理，由DE//BC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5:8，然后利用EF//AB可得到CF：CB=5:8．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EF//AB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
故答案为5：8．
13.【答案】1
【解析】解：∵一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2−1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2−1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义．
14.【答案】12
【解析】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得：x1000+500+x=0.25；
解得：x=500，
∴捞到草鱼的概率为10001000+500+500=12，
故答案为：12．
根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．
15.【答案】4或6
【解析】解：当∠B′AD=90°，AB∵四边形ABCD是平行四边形，B′C由BC折叠得到，
∴AD=BC，BC=B′C，AD//BC，
∴AD=B′C，
∵∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=12B′C=12BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，
BG= 32AB= 32×2 3=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，设AD交CB′于点O．
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
由题意可知，AD//BC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，
∴OA=OC，
∴OB′=OD，
∴∠4=∠5，
∵∠AOC=∠DOB′，
∴∠2=∠3=∠4=∠5，
∴AC//B′D，
∴∠B′AC=∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴BC=AB÷ 32=2 3×2 3=4，
综上所述，当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．
在▱ABCD中，AB本题考查翻折变换的性质，解答时涉及，翻折的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．
16.【答案】解：(1)x2−6x−7=0，
x2−6x=7，
x2−6x+9=16，
(x−3)2=16，
x−3=4或x−3=−4，
所以x1=7，x2=−1；
(2)3x2−1=2x．
3x2−2x−1=0．
Δ=4−4×3×(−1)=16，
∴x1=2+46=1，x2=−13．
【解析】(1)根据配方法的要求进行解答即可；
(2)公式法解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解法，灵活一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)七年一班随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为39=13．
【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)解：∵AC=8，
∴OA=OB=4，
∵AE=2，
∴OE=4−2=2，
在△EOB中，根据勾股定理，得BE=2 5，
∵四边形BEDF是菱形，
∴四边形BEDF的周长为2 5×4=8 5．
【解析】(1)连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，可得BD⊥AC，OA=OB=OC=OD，根据AE=CF，可得OE=OF，即可得证；
(2)根据已知条件，可得OE=2，OB=4，根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周长．
本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：当k≠0时，
∵方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴△=(4k−3)2−4k(3k−3)=4k2−12k+9=(2k−3)2，
∴△=(2k−3)2≥0，
当k=0时，3x−3=0，
解得x=1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
(2)把x=−1代入方程得k+4k−3+3k−3=0，
解得k=34．
故k的值34；
(3)解：kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴a=k，b=−(4k−3)，c=3k−3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x=−b± b2−4ac2a=(4k−3)± (2k−3)22k，
∴此方程的两个根分别为x1=1，x2=3−3k，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k=−3，k=−1，k=3．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=(2k−1)2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
(2)把x=−1代入方程求解即可；
(3)求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
20.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为300−10(y−40)=(700−10y)个，
根据题意得：(y−30)(700−10y)=3960，
整理得：y2−100y+2496=0，
解得：y1=48，y2=52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量=4月份的销售量×(1+该品牌头盔销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为(700−10y)个，利用月销售利润=每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】(1)(9−2t)；5t；
(2)若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9−2t=5t，解得t=97，
∴当t=97s时，△PBQ为等边三角形；
(3)设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得5t−2t=18，解得t=6，
即6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9<12<18，即此时P在AB边上，
∴6秒钟两点在AB上第一次相遇．
【解析】【分析】
本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．
(1)由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；
(2)由等边三角形的性质可知BQ=BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
(3)设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．
【解答】
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=9cm，
∴BP=BC−BQ=9−2t，BQ=5t，
故答案为：(9−2t)；5t；
(2)见答案；
(3)见答案．
22.【答案】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，
∵BC⊥AP，MG⊥AP，
∴BC//MG，
∴△ABC∽△ANG，
∴BCNG=ACAG，即1.5NG=18，
∴NG=12，
同理得：△DEF∽△DMQ，
∴EFDF=MQDQ，
∵DF=2EF，
∴MQ=12DQ=12×23.6=11.8，
∴MN=MQ+QG−GN=11.8+1.5−12=1.3(米)．
答：旗帜的宽度MN是1.3米．
【解析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
23.【答案】−ba ca −ba ca −b− b2−4ac2a −b+ b2−4ac2a
【解析】解：(1)根据题意得：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
故答案为：−ba，ca；
(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2−4ac≥0时，有两个实数根x1=−b− b2−4ac2a，x2=−b+ b2−4ac2a，
∴x1+x2=−b− b2−4ac2a+−b+ b2−4ac2a=−2b2a=−ba，x1x2=−b− b2−4ac2a⋅−b+ b2−4ac2a=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca；
故答案为：−b− b2−4ac2a，−b+ b2−4ac2a；
(3)∵a=2，b=3m，c=m2，
∴方程2x2+3x−1=0的两根之和为−ba=−3m2，两根之积为ca=m22．
∵两根之和与两根之积的和等于2，
∴−3m2+m22=2，
解得m=−1或m=4．
(1)由ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2，可得出x1+x2=−ba，x1x2=ca；
(2)利用公式法，可求出方程的两根为x1=−b− b2−4ac2a，x2=−b+ b2−4ac2a，将其相加及相乘后，即可得出结论；
(3)利用根与系数的关系，即可求出方程的两根之和及两根之积的值．
本题考查了根与系数的关系、公式法求一元二次方程以及运用公式法分解因式，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca”是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，即ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2.比较两边系数可得：x1+x2= ______，x1x2= ______．
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2−4x−1=0B. xy+1=0C. x2−1x−3=0D. x−2=0
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边平行B. 对边相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
3.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形(长30米，宽20米)场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所(羽毛球，乒乓球)如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为( )
A. x2−25x+50=0B. x2−35x+60=0
C. x2−35x=0D. x2−40x+60=0
4.一元二次方程x2+6x+10=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的面积是( )
A. 5B. 10C. 20D. 24
6.形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形( )
A. 关于直线对称的两个图形B. 两个正三角形
C. 两个等腰三角形D. 两个半径不等的圆
7.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，6cm，9cm，12cm
8.下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是( )
A. ∠A=∠D，ACDF=BCEF
B. ∠A=∠D，ABDE=BCEF
C. ∠A=∠D=90°，ABDE=BCEF
D. ∠A=∠D=90°，∠C=55°，∠F=25°
9.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，若AD=4，∠D=45°，则PE+PF的最小值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 2
10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 a+b4，
④四边形AnBnCnDn的面积是 ab2n+1．
A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程(x+1)(x−2)=0的解是______．
12.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于______．
13.一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−1=0的一个根为0，则a=______．
14.某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右.若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ．
15.在平行四边形ABCD中，AB
16.(本小题8分)
解方程：
(1)(配方法)x2−6x−7=0；
(2)(任意方法)3x2−1=2x．
17.(本小题9分)
为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同)背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
(1)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为______；
(2)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
18.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AC=8，AE=2，求四边形BEDF的周长．
19.(本小题9分)
已知：关于x的一元二次方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x=−1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值(k为整数)．
20.(本小题9分)
2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
21.(本小题10分)
在等边三角形ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．
(1)用t分别表示BP及BQ的长度，BP=______cm，BQ=______cm；
(2)经过几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
22.(本小题10分)
5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板DEF，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP=1.5米，PG=23.6米，DF=2EF，已知DP⊥PA，MG⊥PA，BC⊥PA，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在MG上，求旗帜的宽度MN．
23.(本小题11分)
【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：x1+x2= ______，x1x2= ______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系.下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2−4ac≥0时，有两个实数根x1= ______，x2= ______．
……
(3)已知关于x的方程2x2+3mx+m2=0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.x2−4x−1=0是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.xy+1=0是二元二次方程，故该选项不符合题意；
C.该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
D.x−2=0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：A．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此解答即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；
B.对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；
C.对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；
D.对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；
故选：D．
根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．
本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为(20−x)m和(30−2x)m，
所以方程为(20−x)(30−2x)=480，
x2−35x+60=0，
故选：B．
如果设休闲娱乐中心的宽度为x米，绿化带的长和宽就应该分别为(20−x)m和(30−2x)m，根据题意可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△=62−4×1×10=36−40=−4<0，
∴此方程无实数根，
故选：D．
求出此方程判别式的值，即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5.【答案】D
【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．
故选：D．
由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线乘积的一半是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；
故选：C．
根据相似图形的概念判断即可．
本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；
B、由于2×2=1×4，所以成比例，符合题意；
C、由于2×8≠4×6，所以不成比例，不符合题意；
D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
8.【答案】C
【解析】解：当∠A=∠D，ACDF=ABDE时，△ABC∽△DEF，所以A选项错误；
当∠B=∠E，ABDE=BCEF时，△ABC∽△DEF，所以B选项错误；
当∠A=∠D=90°，ABDE=BCEF时，△ABC∽△DEF，所以C选项正确；
当∠A=∠D=90°，∠C=55°，∠F=35°时，可判定△ABC与△DEF相似，所以D选项错误．
故选：C．
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对选项A，B进行判断；根据勾股定理和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可对选项C进行判断；根据两角分别相等的两个三角形相似对选项D进行判断．
此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB//CD，
如图，作点F关于AC的对称点N，连接PN，则FP=PN，
∴EP+FP=EP+PN，
∴点E，点P，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，
过点A作AH⊥CD于H，
∴AH//EN，
∴四边形AHNE是平行四边形，
∴AH=EN，
∵∠D=45°，
∴∠DAH=45°=∠D，
∴AH=DH，
在Rt△ADH中，AH2+DH2=AD2=42，
∴2AH2=16，
∴AH=2 2，
∴EN=2 2，
∴EH+FH的最小值为2 2．
故选：D．
作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH=HN，当点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即可求解．
本题考查了菱形的性质和轴对称−最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为菱形ABCD中AD边的高．
10.【答案】B
【解析】解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1//BD，B1C1//BD，C1D1//AC，A1B1//AC；
∴A1D1//B1C1，A1B1//C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等)；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理)，
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=12A3B3=14A1B1=18AC，B5C5=12B3C3=14B1C1=18BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×18(a+b)=a+b4，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是ab2n+1，
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选：B．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
11.【答案】x1=−1，x2=2．
【解析】解：∵(x+1)(x−2)=0，
∴x+1=0，x−2=0，
x1=−1，x2=2．
故答案为x1=−1，x2=2．
根据因式分解法直接解答．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12.【答案】5:8
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.根据平行线分线段成比例定理，由DE//BC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5:8，然后利用EF//AB可得到CF：CB=5:8．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EF//AB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
故答案为5：8．
13.【答案】1
【解析】解：∵一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2−1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2−1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义．
14.【答案】12
【解析】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得：x1000+500+x=0.25；
解得：x=500，
∴捞到草鱼的概率为10001000+500+500=12，
故答案为：12．
根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．
15.【答案】4或6
【解析】解：当∠B′AD=90°，AB
∴AD=BC，BC=B′C，AD//BC，
∴AD=B′C，
∵∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=12B′C=12BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，
BG= 32AB= 32×2 3=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，设AD交CB′于点O．
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
由题意可知，AD//BC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，
∴OA=OC，
∴OB′=OD，
∴∠4=∠5，
∵∠AOC=∠DOB′，
∴∠2=∠3=∠4=∠5，
∴AC//B′D，
∴∠B′AC=∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴BC=AB÷ 32=2 3×2 3=4，
综上所述，当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．
在▱ABCD中，AB
16.【答案】解：(1)x2−6x−7=0，
x2−6x=7，
x2−6x+9=16，
(x−3)2=16，
x−3=4或x−3=−4，
所以x1=7，x2=−1；
(2)3x2−1=2x．
3x2−2x−1=0．
Δ=4−4×3×(−1)=16，
∴x1=2+46=1，x2=−13．
【解析】(1)根据配方法的要求进行解答即可；
(2)公式法解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解法，灵活一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)七年一班随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为39=13．
【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)解：∵AC=8，
∴OA=OB=4，
∵AE=2，
∴OE=4−2=2，
在△EOB中，根据勾股定理，得BE=2 5，
∵四边形BEDF是菱形，
∴四边形BEDF的周长为2 5×4=8 5．
【解析】(1)连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，可得BD⊥AC，OA=OB=OC=OD，根据AE=CF，可得OE=OF，即可得证；
(2)根据已知条件，可得OE=2，OB=4，根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周长．
本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：当k≠0时，
∵方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴△=(4k−3)2−4k(3k−3)=4k2−12k+9=(2k−3)2，
∴△=(2k−3)2≥0，
当k=0时，3x−3=0，
解得x=1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
(2)把x=−1代入方程得k+4k−3+3k−3=0，
解得k=34．
故k的值34；
(3)解：kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴a=k，b=−(4k−3)，c=3k−3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x=−b± b2−4ac2a=(4k−3)± (2k−3)22k，
∴此方程的两个根分别为x1=1，x2=3−3k，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k=−3，k=−1，k=3．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=(2k−1)2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
(2)把x=−1代入方程求解即可；
(3)求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
20.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为300−10(y−40)=(700−10y)个，
根据题意得：(y−30)(700−10y)=3960，
整理得：y2−100y+2496=0，
解得：y1=48，y2=52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量=4月份的销售量×(1+该品牌头盔销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为(700−10y)个，利用月销售利润=每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】(1)(9−2t)；5t；
(2)若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9−2t=5t，解得t=97，
∴当t=97s时，△PBQ为等边三角形；
(3)设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得5t−2t=18，解得t=6，
即6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9<12<18，即此时P在AB边上，
∴6秒钟两点在AB上第一次相遇．
【解析】【分析】
本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．
(1)由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；
(2)由等边三角形的性质可知BQ=BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
(3)设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．
【解答】
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=9cm，
∴BP=BC−BQ=9−2t，BQ=5t，
故答案为：(9−2t)；5t；
(2)见答案；
(3)见答案．
22.【答案】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，
∵BC⊥AP，MG⊥AP，
∴BC//MG，
∴△ABC∽△ANG，
∴BCNG=ACAG，即1.5NG=18，
∴NG=12，
同理得：△DEF∽△DMQ，
∴EFDF=MQDQ，
∵DF=2EF，
∴MQ=12DQ=12×23.6=11.8，
∴MN=MQ+QG−GN=11.8+1.5−12=1.3(米)．
答：旗帜的宽度MN是1.3米．
【解析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
23.【答案】−ba ca −ba ca −b− b2−4ac2a −b+ b2−4ac2a
【解析】解：(1)根据题意得：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
故答案为：−ba，ca；
(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2−4ac≥0时，有两个实数根x1=−b− b2−4ac2a，x2=−b+ b2−4ac2a，
∴x1+x2=−b− b2−4ac2a+−b+ b2−4ac2a=−2b2a=−ba，x1x2=−b− b2−4ac2a⋅−b+ b2−4ac2a=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca；
故答案为：−b− b2−4ac2a，−b+ b2−4ac2a；
(3)∵a=2，b=3m，c=m2，
∴方程2x2+3x−1=0的两根之和为−ba=−3m2，两根之积为ca=m22．
∵两根之和与两根之积的和等于2，
∴−3m2+m22=2，
解得m=−1或m=4．
(1)由ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2，可得出x1+x2=−ba，x1x2=ca；
(2)利用公式法，可求出方程的两根为x1=−b− b2−4ac2a，x2=−b+ b2−4ac2a，将其相加及相乘后，即可得出结论；
(3)利用根与系数的关系，即可求出方程的两根之和及两根之积的值．
本题考查了根与系数的关系、公式法求一元二次方程以及运用公式法分解因式，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca”是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，即ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2.比较两边系数可得：x1+x2= ______，x1x2= ______．
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