2025年广东省中考数学一轮复习 微专题 特殊四边形中的常见模型课件

这是一份2025年广东省中考数学一轮复习 微专题 特殊四边形中的常见模型课件，共36页。
模型 十字模型例1　【问题情境】(1)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，CD上的点，BE，AF交于点O.小亮根据图形提出如下猜想：若BE⊥AF，则BE＝AF；小利根据图形提出如下猜想：若AE＝DF，则BE⊥AF.请你从他们的猜想中任选一个进行证明．
解：选择证明小亮的猜想．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°.∴∠DAF＋∠BAO＝90°.
∵BE⊥AF，∴∠AOB＝90°.∴∠ABE＋∠BAO＝90°.∴∠ABE＝∠DAF.
[或选择证明小利的猜想．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°.
∵∠BAE＝∠DAF＋∠BAO＝90°，∴∠ABE＋∠BAO＝90°.∴∠AOB＝90°.∴BE⊥AF.]
【类比探究】(2)如图，在正方形ABCD中，E，F，H，G分别为边AD，CD，BC，AB上的点，连接EH，GF交于点O.若EH⊥GF，求证：EH＝GF.
证明：如答图，过点E作EM⊥BC于点M，过点G作GN⊥CD于点N，交EH于点Q.
∴EM綉AB，GN綉AD，∠EMH＝∠GNF＝90°.∴EM⊥GN. ∴∠MEH＋∠GQE＝90°.
又EH⊥GF，∴∠NGF＋∠GQE＝90°.∴∠MEH＝∠NGF.
【拓展应用】(3)如图，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，BE，AC相交于点F，且BE⊥AC.若AB＝6，AD＝8，求BE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝6.∴∠BAC＋∠DAC＝90°.
基础模型分析：E，F分别为正方形ABCD中边AD，CD上的点．若AE＝DF，则AF＝BE，AF⊥BE，△ABE≌△DAF.注：知一可求其他三个．
模型变式：已知：在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD上的点，且EG⊥FH.结论：EG＝FH.
模型拓展：已知：在矩形ABCD中，E为边AD上的点，AC⊥BE.结论：△ABE∽△DAC，即
　 1.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长为________．
2.如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD于点H，交AD于点E，交BC于点F.若AB＝3，BC＝4，则EF的长为________．
例2　【初步感知】(1)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE，DF，EF之间的数量关系．小明同学给出了如下思路：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：____________________．请你按照这个思路写出结论，并说明理由．
模型 半角模型(2023广东第23题考查)
解：EF＝BE＋DF.理由如下：
由旋转的性质，得DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，AG＝AE.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠FAG＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠FAG＝∠EAF.
【迁移应用】(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°.若AG＝2 ,CH＝2，求GH的长．
解：在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°.
如答图，将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM，连接MG.由旋转的性质，得BM＝BH，AM＝CH＝2，∠BAM＝∠C＝45°，∠ABM＝∠CBH.
∴∠MAG＝∠BAM＋∠BAC＝90°.
∵∠HBG＝45°，∴∠ABG＋∠CBH＝45°.∴∠MBG＝∠ABG＋∠ABM＝∠ABG＋∠CBH＝45°.∴∠HBG＝∠MBG.
　 3.(2024重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为(　　)A．2 B． C． D．
4．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△DBC是顶角为120°的等腰三角形，动点E，F分别在边AB，AC上．若∠EDF＝60°，则△AEF的周长为(　　)A．12 B．10 C．8 D．6
基础模型分析：已知:E,F分别是正方形ABCD中边BC，CD上的点,且∠EAF＝45°.结论：①△AEF≌△AGF；②EF＝BE＋DF；(可进一步推出△CEF的周长等于正方形边长的2倍)③EA平分∠BEF.(可进一步推出∠CEF＝2∠BAE，∠CFE＝2∠DAF)
模型变式：已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.将AD绕点A逆时针旋转90°得到AF.结论：①△ADE≌△AFE；②CE⊥CF，DE2＝BD2＋CE2.
模型拓展：(1)已知：在等边三角形ABC中，∠DAE＝30°.将AD绕点A逆时针旋转60°得到AF.结论：①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝120°.
(2)已知：在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°.将AD绕点A逆时针旋转120°得到AF.结论：①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝60°.
例3　(RJ八下P63实验与探究改编)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，OA1，OC1分别与正方形ABCD的边AB，BC交于点E，F.(1)猜想线段OE，OF的数量关系，并进行证明．
模型 对角互补模型(2023广东第23题考查)
解：OE＝OF.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO,∠AOB＝90°,∠OAB＝∠OBC＝45°.
∵四边形A1B1C1O是正方形，∴∠A1OC1＝∠BOE＋∠BOF＝90°.
又∠AOB＝∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF.
(2)若AE＝2，CF＝4，则四边形OEBF的面积为________．
变式1　在正方形A1B1C1O绕点O旋转的过程中，四边形BEOF的面积________(填“会”或“不会”)发生变化．变式2　若正方形ABCD的面积为S1，四边形BEOF的面积为S2，则S1与S2之间的数量关系为__________．
(3)连接EF.①若OE＝3，则EF的长为________，△OEF的面积为________．②若OE＝ ，AE＝ ，则正方形ABCD的边长为________，正方形ABCD的面积为________． 
变式　如图，在正方形ABCD中，M为对角线BD上任意一点(不与B，D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N.(1)求证：MN＝MC；
证明:由正方形的性质,得∠MBC＝∠MBN＝45°.如答图①，将线段BM绕点M逆时针旋转得到线段PM，交BC的延长线于点P.
∴PM＝BM.∴∠P＝∠MBP＝45°.∴△BMP是等腰直角三角形，∠BMP＝90°.
∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°.∴∠BMP－∠BMC＝∠CMN－∠BMC，即∠CMP＝∠NMB.
(2)若AD＝6，BD＝3DM，求BN的长．
[另一种解法：(1)证明：如答图②，过点M分别作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F.
又∠ABC＝90°，∴四边形BEMF是矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴ME＝MF.
∴四边形BEMF是正方形．∴∠EMF＝∠EMN＋∠NMF＝90°.
∵CM⊥MN，∴∠CMN＝∠CME＋∠EMN＝90°.∴∠NMF＝∠CME.
由(1)，得四边形BEMF是正方形．∴BE＝BF＝4.∴CE＝BC－BE＝6－4＝2.∵△MFN≌△MEC，∴NF＝CE＝2.∴BN＝BF－NF＝4－2＝2.]
　 5. 5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积总是2，则AD的长为________．
6．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝4，则四边形ABCD的面积为________.　
模型分析：已知：在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，OE⊥OF.结论：①△COE≌△DOF，△BOE≌△COF；②OE＝OF，BE＝CF，CE＝DF；③△EOF是等腰直角三角形；④S四边形CEOF＝S△COD＝ S正方形ABCD.
模型变式(90°对角互补模型)：已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC.结论：①AD＝CD；②AB＋BC＝ BD；③S四边形ABCD＝ BD2.