浙江省丽水市2023-2024学年高一（上）1月期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份浙江省丽水市2023-2024学年高一（上）1月期末教学质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因集合，，且，则.
故选：C.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，
可知命题“”的否定为“”.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以或，
则可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】由题可知，解得且.
故选：D.
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时20%速度减少，
他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，，
．
他至少经过个小时才能驾驶．
故选：D.
6. 已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为
，由题知，
，所以，
所以，即，由题知，当时，.
故选：A.
7. 已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为依次确定了零点所在区间为，，，
可得，即，解得.
所以.
故选：B.
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，根据为上的单调减函数，
则在上单调递减，且，，
所以函数在上存在唯一的零点，故；
又因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因为，所以，所以，
即，所以，
综上可得：.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于AD，当时，
，故AD错误；
对于BC，因为，所以，故BC正确.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】由题意，函数，可得的最小正周期为，
所以A正确；
令，解得，
即函数的定义域为，所以B不正确；
令，解得，
当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；
由，可得，根据正切函数性质，
可得函数在上单调递增，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列是真命题的是（ ）
A. 函数且的图像恒过定点
B. 函数的值域是
C. 函数为奇函数
D. 函数的图像的对称轴是
【答案】AC
【解析】对于A，令，则，当时，，
所以函数恒过定点，故A正确；
对于B，因为，则，
令，则，则，
即函数的值域是，故B错误；
对于C，因为函数定义域为关于原点对称，
且，则，
所以函数为奇函数，故C正确；
对于D，函数的图像的对称轴是，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 函数的图象存在对称轴D. 函数的图象存在对称中心
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，当时等号成立；
，当时等号成立，
则两个式子中等号不会同时成立，
所以由不等式性质可得；故选项A正确；
对于选项B：显然.
因为当时，，当且仅当时等号成立，此时；
当时，，当且仅当时等号成立，此时；
所以，则.
又因为，所以，即，故选项B正确；
对于选项C：因为，
，.
显然，所以函数的图象不存在对称轴，故选项C错误；
对于选项D：因为，
所以函数的图象关于点对称，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______________.
【答案】3
【解析】由题意可得：扇形的面积为.
14. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是______．
【答案】
【解析】由题可知，解得，舍去.
15. 化简______．
【答案】1
【解析】.
16. 若正数，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】因为正数，满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为．
17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，对称轴为，
∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，且，
∴且，即且，解得，
即实数的取值范围为.
18. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为函数在区间内有两个不同的零点，
则方程，
即在区间上有两个不等的实根，
设，，
则函数在区间上有两个交点，
显然，当时，，此时两函数只有一个交点，不满足；
当时，为二次函数，对称轴为，
开口向上，与轴只有一个交点，则，解得，
即实数的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）为锐角，，，
.
（2），，
或.
20. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围．
解：（1），
由，得，
∴所求的单调递增区间是.
（2）由，得，
或，
或，
∴由已知.
21. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，，
当时，，
故.
（2）当时，的对称轴为，
最大值为，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
综上施肥量为时，单株年利润最大为390元.
22. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若方程有个不相等的实数解，求的取值范围．
解：（1）由题有时，解得或，
因为，所以，故.
（2）由（1），则方程为
设，当且仅当，即时等号成立，
可得，
则原方程可化为，
令，
因为，故函数为上的偶函数，
设，
，
，，
，即函数在上单调递增，
由偶函数得在上单调递减，最小值为
故原条件等价于方程在有两个不相等的实数根，
即，解得，
不妨设两根为，的两根为，由为上的偶函数，
可得，即，，
所以.
23. 函数，表示不超过的最大整数，例如：，．
（1）当时，求满足的实数的值；
（2）函数，求满足的实数的取值范围．
解：（1）当时，即，得（舍去）；
当时，即，得；
当时，即，得；
综上或.
（2）由题可得的定义域为又，
，，
当时，，方程左边，右边，左边右边；
当时，，，
由取整定义可得：，
，
，又，
可得，解得，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，或，
综上.