安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期10月份教学质量诊断测试 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期10月份教学质量诊断测试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．对于命题p：，则命题p的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
4．方程组的解构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（ ）
A．9B．10C．31D．32
8．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9．若全集，，，则集合等于（ ）
A．B．C．D．
10．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（ ）
A．4B．2C．1D．0
11．已知均为实数，则的可能值为（ ）
A．B．C．1D．2
12．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．当时，的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则的取值范围为 ．
14．设，，若，则的取值范围是 ．
15．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
16．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围.
18．(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
19．已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
20．（1）已知，证明：；
（2）若a，b，c为三角形的三边长，则．
21．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）
(2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．
22．已知函数．
(1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．
1．A
【分析】直接由交集的定义求解即可．
【详解】因为，，
所以，
故选：A．
2．D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题p：的否定为.
故选：D
3．D
【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：且，
故选：D
4．D
【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集.
【详解】由，解得，
所以方程组的解构成的集合是.
故选：D
5．B
【分析】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案.
【详解】，
，
等价于，解得，
其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．C
【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【详解】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.
故选：C
7．C
【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题.
【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数，
令，得，令，得，令，得，
所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个.
故选：C
8．C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C
9．BCD
【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.
【详解】对A，，，故，故A错误；
对B，，故，故B正确；
对C，，故，故C正确；
对D，，故，故D正确.
故选：BCD
10．AC
【分析】由集合新定义把中的元素代入解出即可.
【详解】由M与N“相交”，可知有一个属于集合M，
若，则；
若，则，
故选：AC.
11．ABC
【分析】分类讨论当同号时、有一个为0时、异号时的情况，求出的取值范围，结合选项，即可得答案.
【详解】由题意得当同号时，有，
则，
当且仅当时等号成立，
当有一个为0时，，
当异号时，有，
则，
结合选项可知，的可能值为，，1，
故选：ABC
12．BC
【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D.
【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，
又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，
又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，
又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.
故选：BC
13．.
【分析】先分别计算和的取值范围，再根据不等式的性质求的取值范围.
【详解】因为，，
所以，，
由不等式运算的性质得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于简单题.
14．
【分析】根据交集的结果直接得到.
【详解】因为，且，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
15．
【分析】依题意可得“，”是真命题，分、两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
当时，不等式为，显然成立；
当时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
16．9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；
（2）由可分类讨论与时画图分析即可.
【详解】（1）∵
∴
（2）∵
∴①当时，，解得：，
②当时，即：，
∴或
∴
∴综述：.
18．(1)，理由见解析
(2)最小值为8，此时
【分析】（1）利用作差法得到，进而即可比较；
（2）依题意可得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）由，
又，，
则，
所以．
（2）由，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，此时．
19．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得.
（2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得.
【详解】（1），
由，得，而，，，则，
所以．
（2）为的三边长，则有，，，
由（1）知：，，，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以．
21．(1)
(2)当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元．
【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，
（2）分和求出的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
综上，，
（2）当时，，
函数的对称轴是，则函数在上递增，
所以当时，函数取得最大值；
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，
因为
所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元．
22．(1)或
(2)
【分析】（1）变形得到存在，使得成立，由根的判别式得到不等式，求出答案；
（2）转化为只需对任意的恒成立即可，分和，结合参变分离，基本不等式求出答案.
【详解】（1）由得，
∵存在，使得成立．
∵由于为二次函数，开口向上，
故只需，解得或，
所以实数a的取值范围为或.
（2）由题意知：对任意的，恒成立，
由于恒成立，故，
故只需对任意的恒成立即可，
即，当时，，上式成立，
当时，，
又∵（当且仅当时取＝），
∴．