广东省茂名市信宜市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省茂名市信宜市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】由题意知命题“，”为存在量词命题，
其否定为全程量词命题，即，.
故选：C.
2. 设集合，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，所以．
故选：D.
3. 若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设指数函数且，点在的图象上，
所以，解得.
所以，故反函数.
故选：A.
4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知点，则，则.
故选：B.
5. 若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（ ）
A. -2B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】A：当时，，图像如下，故A错误；
B：当时，，图像如下，故B错误；
C：当时，，图像如下，故C错误；
D：当时，，图像如下，故D正确.
故选：D.
6. 函数零点的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】在上单调递减，
，
，所以零点所在的区间是,所以该函数只有一个零点.
故选：B.
7. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A. 104倍B. 105倍C. 106倍D. 107倍
【答案】C
【解析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，
由题意得，解得，∴.
故选：C.
8. 设甲：，乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如，但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】不妨令，则，，CD错误；
因为，不等式两边同乘以得：，
不等式两边同乘以得：，故，A正确；
因为，，相乘得：，B正确.
故选：AB.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于原点对称B. 的值域是
C. 若，则 D. 是增函数
【答案】AB
【解析】函数的定义域为，
因为，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确；
当时，单调递增，，当时，，
当时，，即此时函数值域为，
根据奇函数的对称性可知，函数的值域为，故B正确；
若，则，
当且仅当时取等号，显然等号无法取得，
所以，所以，
则，
所以，故C错误；
因为，显然函数不单调，故D错误．
故选：AB．
11. 下列各式比较大小，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误；
B：，因为在上是单调递增函数，所以，故B正确；
C：，，故，故C正确；
D：，
所以，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A. 函数的零点为，B. 函数的最小值为
C. 方程有3个解D. 方程最多有4个解
【答案】BCD
【解析】对于A，由，即，得或，
所以的零点为和3，所以A不正确；
对于B，因为的解为和，由与的图象可知，
当时，有最小值，所以B正确；
对于C，因为的图象与有3个交点，
所以方程有3个解，所以C正确；
对于D，令，因为，由选项B中图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数，则______.
【答案】
【解析】因为，所以.
14. 已知，，且，则ab的最大值为___________．
【答案】4
【解析】∵，，，当且仅当时等号成立，即，
整理可得，所以ab最大值为4．
15. 已知定义域为R的函数满足以下两个条件：①对任意实数x、y，恒有；②在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数解析式__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，则可知指数函数满足该条件要求，
是上的单调递增函数则指数函数的底数要，
故均满足题意，故答案可以是（答案不唯一）．
16. 有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是_____；
（2）______．
【答案】 3033
【解析】由得，
令，
则，
即为奇函数；由题中命题可得，
函数的对称中心是；
由得，
则；
所以
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：；
（2）求值：．
解：（1）原式.
（2）原式
.
18. 已知，且为第三象限角.
（1）求和的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）由可得，，所以，
又为第三象限角，所以，
，所以，.
（2）利用诱导公式可得，
将代入可得，
即.
19. 已知集合，或，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）将代入集合中的不等式得：，
∵或，
∴或，，
则.
（2）∵，或，
当时，；此时满足，
当时，，此时也满足，
当时，，若，则，解得：；
综上所述，实数的取值范围为.
20. 已知函数，，设.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求x的范围.
解：（1）根据题意，函数，，
可得，
则有，解可得，即函数定义域为.
（2）由（1）知，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为定义域上的奇函数.
（3）由，即，
则满足且，解可得，所以x的取值范围为.
21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
解：（1）由已知.
（2）由（1）得，
即由二次函数的单调性可知，当时，，
由基本不等式可知当时，
，
当且仅当时取得最大值，
综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.
22. 已知是定义在R上的奇函数，其中，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，
又因为，所以，解得，所以，
，则为奇函数，所以.
（2）在上单调递减. 证明如下：
设，则，
因为，则，，所以，
所以在上单调递减.
（3）记在上的值域为集合A，在上的值域为集合B，
则原问题等价于，
由（2）可知在上单调递减，所以，
记在区间内的值域为.
当时，易知在上单调递减，
则，，
得在区间内的值域为，满足，
当时，在上单调递减，
则，，
得在区间内的值域为，满足，
当时，在上单调递减，
则，
，得在区间内的值域为，满足，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，
无实数解，
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，的取值范围为.