江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题.，多选题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】全集，，∴，
∵∴.
故选：A．
2. 命题“，都有”的否定为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，使得
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，
都有”的否定为，使得.
故选：D.
3. 已知函数则的值为（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】B
【解析】，，.
故选：B.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数有意义则必有，解得，所以定义域为．
故选：C.
5. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为在上递减，，
所以，解得，即的取值范围是．
故选：A．
6. 假设有一组数据为，，，，，，，这些数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 5，6B. 6，4C. 6，5D. 6，6
【答案】D
【解析】依题意，原数据组由小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.
故选：D.
7. 从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，
基本事件总数种情况，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
共6种情况，
故所求概率为：.
故选：B.
8. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.
故选：B.
二、多选题.
9. 若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 方程的两根是，1
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】依题意，方程的两根是，1，B正确；
显然，即，，A正确；
不等式，即的解集为或，C错误；
不等式，即的解集是，D正确.
故选：ABD.
10. 下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】A：是偶函数，故A错误；
B：是奇函数，且在是增函数，故B正确；
C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误；
D：是奇函数，且在是增函数，故D正确.
故选：BD.
11. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）
A.
B.
C. 70分以下人数约为6人
D. 本次考试的平均分约为93.6
【答案】AD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，
所以，B错误；
对于C，70分以下的人数为人，C错误；
对于D，平均成绩，
D正确.
故选：AD.
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（ ）
A. 当时，
B. 有个解，且
C. 是奇函数
D. 的解集是
【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，，则，
A错；
对于B选项，因为函数是定义在上的奇函数，
当时，，则，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上为增函数，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象有五个交点，不妨设，
因为函数与都为奇函数，则，
点、关于原点对称，点、关于原点对称，
所以，，，故，B对；
对于C选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，C错；
对于D选项，令，则，且，则，
由图可知，函数在上为增函数，由，可得，即，
结合图象可知，不等式的解集为，D对.
故选：BD.
三、填空题.
13. 已知正实数满足，则的最小值是______.
【答案】
【解析】正实数满足，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
14. 函数的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】二次函数开口向上，对称轴为，
所以函数的单调递减区间为.
15. 抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间的频率为______.
【答案】0.25
【解析】由题意知，落在的频数为，所以频率为.
16. 已知函数．若使得成立，则范围是____________．
【答案】
【解析】因为对于使得，
即，即.
因为，函数在上单调递增，单调递减，
，即，即，
又，
设，则，，对称轴为，
①当即时，，即，
解得，所以；
②当即，，即，
解得.
所以解集为，
③当时，即，，解得，此时解集为.
综上，的取值范围是.
四、解答题.
17. 已知，，其中.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
所以，.
（2）若，则，则，解得.
故实数的取值范围是.
18. 甲､乙两机床同时加工标准直径为的零件，为检验质量，各从中抽取5件测量其直径，所得数据如下表：
（1）分别计算两组数据的平均数；
（2）分别计算两组数据的方差；
（3）根据（1）（2）所得结果，判断哪台机床加工该零件的质量更好？
解：（1）甲机床生产的零件的平均数
乙机床生产的零件的平均数.
（2）甲组数据的方差，
乙组数据的方差.
（3）因为甲乙两组数据的平均数相同，
甲，乙两台机床加工该零件的平均水平相当.
又甲组数据的方差大于乙组数据的方差，
乙机床加工该零件的直径大小更稳定.
乙机床加工该零件的质量更好.
19. 已知函数.
（1）求的值；
（2）在坐标系中画出的草图；
（3）写出函数的单调区间和值域.
解：（1）因为，所以，
所以.
（2）草图如下：
（3）由图可知，减区间为，增区间为；
当时，；
当时，为减函数，所以；
当时，为增函数，所以；
所以的值域为.
20. 某地区有小学15所，中学10所，大学5所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率.
解：（1）从小学抽取所；
从中学抽取所；
从大学抽取所.
（2）小学的所学校编号为，中学的所学校编号为，大学的所学校编号为，
从中随机抽取2所学校，基本事件有：
，共种，
其中抽取的2所学校均为小学的是：，从种，
所以抽取的2所学校均为小学的概率为.
21. 已知函数.
（1）求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
（2）令函数，当时，证明：函数在区间上有零点.
解：（1）由题意知函数，故，
令，
即函数恒过定点，该点坐标为.
（2）证明：由题意，
当时，，
即，则，
又，故函数在区间上有零点.
22. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
（2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；
（3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
解：（1）由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
分.
（2）由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为，
所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，
可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为，
从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有，共有12个基本事件；
其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个，
所以概率为.
（3）甲最终获胜的可能性大. 理由如下：
由题意，甲至少得1分的概率是，
可得，其中，解得，
则甲的2分或3分的概率为：
，
所以乙得分为2分或3分的概率为，
因为，所以甲最终获胜的可能性更大.分组
频数
2
3
4
5
4
2
甲
98
100
99
100
103
乙
99
100
102
99
100