精品解析： 期中综合测试卷2024-2025学年北师大版数学八年级下册 （解析版）-A4

这是一份精品解析： 期中综合测试卷2024-2025学年北师大版数学八年级下册 （解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 若x＞y，则下列各式正确的是（ ）
A. x－6＜y－6B. C. 2x＋1＞2y＋1D. －x＞－y
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】解：A、不等式两边都减去6，不等号的方向不变，即x-6＞y-6，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式两边都乘2，再加上1，不等号的方向不变，即2x+1＞2y+1，原变形正确，故此选项符合题意；
D、不等式两边都乘-1，不等号的方向改变，即-x＜-y，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）一个数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向．
2. 下列图例中，是中心对称图形的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：在平面内把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：是轴对称图形；是中心对称图形；
故选： D．
3. 如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AC⊥OB于C，根据等边三角形的定义及性质即可求出OA和OC，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：过点A作AC⊥OB于C，
∵是等边三角形，若点的坐标是，
∴OB=OA=4
∴OC=2，
∴AC==，
∴A点坐标是（2，）．
故选：B．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、勾股定理和点的坐标求法是解题关键．
4. 如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（ ）
A. m＜﹣2B. m≤﹣2C. m＞﹣2D. m≥﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．
【详解】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题关键是明确不等式性质，列出不等式求解．
5. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的坐标特征：第一象限，；第二象限，；第三象限，；第四象限，；得到不等式组，求出不等式组的解集，再逐项判断即可求解．
【详解】解：点在第二象限，
得到不等式组，
解①得，
解②得，
在数轴上表示它们的解集如下：
故选：A ．
6. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可．
【详解】解：∵，，
∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位，
∵，
∴点坐标为，
故选：C．
7. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等，解题的关键是理解线段垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，则，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和即可计算出的度数．
【详解】解：点在的垂直平分线上，
，
，
平分，
，
，，，
，
．
故选：C．
8. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解： ，
∴ ， ，
∵和大小、形状完全相同，
∴ ，
∴，
∴
故选：A．
9. 若整数a使得关于x的不等式组，有且只有7个整数解，且使得关于y的一元一次方程＝1的解为非负整数，则满足条件的整数a的值有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】分别表示出方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的值即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
∵关于x的不等式组，有且只有7个整数解，
，
其整数解为：5，4，3，2，1，0，﹣1，
，
方程去分母得：2y+a+2＝3，
解得：，
由方程的解为非负整数，解得：a＝﹣7或﹣5，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
10. 如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得，，再求出OE，从而得到，过点O作于，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得，然后由代入数据计算，即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵绕顶点逆时针旋转到处，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
过点作于，如图，
，
解得：，
在Rt中，，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．
二、填空题(每小题2分，共12分)
11. 甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可．
【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，
将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是，
故答案为：．
12. 已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为__．
【答案】18
【解析】
【分析】利用非负数的性质求出b的值，推出a＝c，推出PQ＝6，根据PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，推出a＝4即可解决问题．
【详解】解：∵|a﹣c|+＝0，
又∵|a﹣c|≥0，≥0，
∴a﹣c＝0，b﹣6＝0，
∴a＝c，b＝6，
∴P（a，6），Q（a，2），
∴PQ＝4，
∵线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，
∴a＝6，
∴a＝c＝6，
∴a+b+c＝6+6+6＝18，
故答案为18．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握坐标与图形变化-平移，非负数的性质．
13. 如图，在中，，，平分交于点D，，垂足为E．若，则的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点作，利用角平分线的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：过点作，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
故答案：．
14. 关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由，解得，
∵关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
15. 如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，，则______
【答案】50°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C，然后根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【详解】解：∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠D=90°-∠C=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，点为线段的中点，点是线段上的定点，且，将 绕点按逆时针方向旋转，得到 ．在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最小值为_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作，交CB的延长线于点，由，可推出，得到，进而求出，，，结合，利用等面积法求出，根据当旋转到点的对应点恰好在上时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交CB的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得：，
点为线段的中点，
，
当旋转到点的对应点恰好在上时，有最小值，
线段长度的最小值为，
故答案为：．
三、解答题(共78分)
17. 解不等式(组)：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据不等式的性质进行计算即可；
（2）分别解不等式，将解集联立起来即可．
【小问1详解】
解：去分母，得：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得；
【小问2详解】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为．
18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．

（1）将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）作出点A、B、C平移后的对应点、、，再顺次连接即可；
（2）作出点、绕点顺时针旋转后的对应点、，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了旋转作图和平移作图，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．
19. 对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．
例如：．
（1）的值等于______；
（2）若满足，求的取值范围；
（3）若，且，求的值．
【答案】（1）1 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据题目所给的新定义进行求解即可；
（2）根据题目所给的新定义得到关于x的不等式，解不等式即可得到答案；
（3）根据已知条件并结合公式列出关于、的方程组，将两个方程相加，再两边都除以即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
用①+②得：，
．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，有理数的混合计算，根据已知条件并结合公式列出不等式和方程组是解题的关键．
20. 如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想DOP是 三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB
∴ ＝
∵DN∥EM
∴ ＝
∴ ＝
∴ ＝
【答案】等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析
【解析】
【分析】（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；
（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．
【详解】解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴OD＝PD．
故答案为：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．
21. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
22. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设，则，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键．
23. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：

（1）关于x的方程的解是______；
关于x的不等式的解集是______；
（2）直接写出：关于x的不等式组的解集是______；
（3）若点C坐标为，
①关于x的不等式的解集是______；
②请求出的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）根据图象找到两函数图象在x轴上方部分对应的x的范围即可；
（3）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围即可；利用三角形面积公式求得即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数和图象，分别与轴交于点、，
∴关于的方程的解是，
关于不等式的解集，为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
故答案为：；
【小问3详解】
解：①∵点，
∴由图象可知，不等式的解集是；
②∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
24. 在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D；AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【答案】（1）AD＝BD；（2）BC＝6；（3）OA＝5．
【解析】
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
∴BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6；
（3）
∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB＋OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25. 为了响应长沙市政府发布的《长沙市城市污水处理提质三年行动方案(2019-2021)》，市住建局委托市治污公司购买18台污水处理设备．现有、两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多4万元，购买一台型设备和一台型设备共用20万元．
（1）求、的值．
（2）经市审计局预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过156万元，你认为该公司有哪几种购买方案？请写出所有的购买方案．
（3）在第（2）问的条件下，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金．
【答案】（1）m=12，n=8；（2）有四种购买方案：①A型设备购买0台，B型设备购买18台；②A型设备购买1台，B型设备购买17台；③A型设备购买2台，B型设备购买16台；④A型设备购买3台，B型设备购买15台；（3）为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台．
【解析】
【分析】（1）根据“购买一台型设备比购买一台型设备多4万元，购买一台型设备和一台型设备共用20万元．”即可列出方程组，继而进行求解；
（2）设购买A型设备x台，B型设备(18－x)台，则有，解之确定x的值，即可确定方案；
（3）因为每月要求处理污水量不低于4600吨，所以有，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
【详解】（1）根据题意得
解得：.
（2）设购买A型设备x台，B型设备(18－x)台．
则：
解得：
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，3，
有四种购买方案：
①A型设备购买0台，B型设备购买18台；
②A型设备购买1台，B型设备购买17台；
③A型设备购买2台，B型设备购买16台；
④A型设备购买3台，B型设备购买15台；
（3）由题意得：
解得：
∵，x取非负整数，
∴x=2，或x=3，
当x=2时，购买资金为12×2+8×16=152(万元)
当x=3时，购买资金为12×3+8×15=156(万元)
∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台．
【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
26. 如图，在四边形中， ， 交于点E．将 绕点 C顺时针旋转 得到．
（1）画出旋转之后的图形．
（2）求证：
（3）若的面积为，的面积为，求值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据题意，画出旋转图即可；
（2）由旋转旋转可得，再根据全等三角形的性质和，即可得；
（3）根据，可得的长，再根据勾股定理求出和的长，根据和同高，即可得的值．
【小问1详解】
如图，即为旋转之后的图形．
【小问2详解】
证明：由旋转可知：，
，
三点共线，
【小问3详解】
过点 E作于点M，过点 C作于点N，
∴ ，
在和中，

在中，
，
设，则，
在 中，
即 解得，
设备型号
型
型
价格(万元/台)
处理污水量(吨/月)
300
250