数学第一册第3章 函数课后作业题

这是一份数学第一册第3章 函数课后作业题，共42页。试卷主要包含了对函数,的图象的影响等内容，欢迎下载使用。


知识点一：五点法作图
知识点二：三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
知识点三：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
题型01利用“五点法”作函数的图象
【典例1】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到.
(1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图.
【答案】(1)答案见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出结论；
（2）由可计算出的取值范围，列表、描点、连线可作出函数在上的图象.
【详解】（1）解：因为
，
所以，要得到函数的图象，可先将函数的图象向右平移个单位长度，
将所得函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，
再将所得函数图象上每点的纵坐标缩短为原来的，可得到函数的图象.
（2）解：当时，，列表如下：
作出函数在上的图象如下图所示：
【典例2】（23-24高一下·江苏常州·开学考试）已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，且函数在区间上只有一个零点．
(1)求的解析式；
(2)用“五点法”画出在一个周期内的图像；
(3)当时，求的最值．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)最小值为，最大值为2
【分析】（1）由已知得出和，由得出，再根据在时取得最大值及，即可求得的值；
（2）令，直接根据五点法列表作图即可；
（3）当时，，结合三角函数的性质，即可求解．
【详解】（1）因为在时取得最大值，在时取得最小值，且函数在区间上只有一个零点，
所以，，则，
所以，
故，
又在时取得最大值，
所以，，
又，故，则．
（2）令，则，列表如下：
图像如下：

（3）当时，，
则
所以，当，即时，，
当，即时，．
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）用“五点法”作出函数的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.
【答案】图象见解析，最小正周期为，最大值为5，最小值为1，减区间为，，增区间为，
【分析】根据五点法的法则和画函数图象的步骤，结合正弦型函数的周期、单调性进行求解即可.
【详解】①列表如下：
②描点.
③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得的图象.如图所示.

函数的最小正周期，最大值为5，最小值为1，
函数的减区间为，，增区间为，.
【变式2】（2024·辽宁丹东）已知函数，．
(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；
(2)若在上单调递减，求．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）根据五点法作图，列出表格，描点连线即可；
（2）解法1：根据单调性知，解出的范围，根据范围有，再根据的范围得，最终确定的值；
解法2：根据和范围得，从而有，列出不等式组，用表示出的范围，最后求出值即可得到值.
【详解】（1），由，得．
列表如下：
描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图：
（2）解法1：
由f（x）在上是减函数知，因为，所以代入解得．
因为，，所以．
由得，，
由题意只能，从而．
解法2：因为，，所以．
由题设知，，
从而
解得．
因为，所以
故，因为，所以，于是．
题型02三角函数的图象变换
【典例1】（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】根据图象平移的规则判断．
【详解】由，
因此向左平行个单位得到图象，
故选：C．
【典例2】（23-24高一下·上海普陀）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.
【详解】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
【典例3】（2024·江西）若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得的表达式，比较可得．
【详解】函数的图象向右平移个单位后得图象的解析式为，它与相同，
则，，只有C满足．
故选：C．
【变式1】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.
【详解】由于函数，
故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.
故选：D．
【变式2】（2024·山西吕梁）为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用相位变换即可求得.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选:C．
【变式3】（2024·天津）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，
当时，.
故选：A
题型03 由的图象确定其解析式(或参数值)
【典例1】（23-24高一下·北京东城·期中）已知函数，且此函数的图象如图所示，则的值分别是（ ）
A．2，B．2，C．4，D．4，
【答案】B
【分析】根据函数的图象，可知函数的周期及过点，即可求出结果.
【详解】由函数的图象可得，函数的周期，
则，所以，
函数图象过点，则，
所以，即，又，
所以.
故选：B.
【典例2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的解析式可以为
B．函数y=fx的图像关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数y=fx的图像关于点对称
【答案】C
【分析】由已知结合最值求A，结合周期求出，由特殊点求，进而可求，然后结合正弦函数的对称性及单调性即可判断．
【详解】由题意得，，，所以，故，
因为，，
因为，所以，，A正确；
因为，此时取得最小值，B正确；
当时，，此时不单调，C错误；
因为，D正确．
故选：C．
【典例3】（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】ACD
【分析】由图象求出得解析式，然后利用正弦型函数的相关性质逐项判断即可.
【详解】由题意可得，，，所以，
所以，所以，
又，因为，所以，
所以，故A正确；
，故B错误；
令，解得，
所以在单调递减，而，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确.
故选：ACD
【典例4】（多选）（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（ ）
A．可能为B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数
C．的解析式可能为D．在上的值域为
【答案】BC
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，再逐项分析判断即得.
【详解】观察图象得，，由，得，而，解得或，
函数的最小正周期，而且，于是且，解得，
又，且是函数递减区间上的零点，则，
当时，，则；当时，，无解，
因此，，，A错误；
对于B，，，为偶函数，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，，，D错误.
故选：BC
【变式1】（2024·云南·模拟预测）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象最大值得到，由向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得过，结合图象过得到，故，，从而，由得到的值.
【详解】由图象得，从而，
的图象上的所有点向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得函数的图象过点，
所以结合图象知，所以，故，
又，则，结合，得，
所以，，
故选：A．
【变式2】（23-24高一下·山东青岛·期末）函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据图象可得，结合周期可得，再根据时取得最值，可求得，代入，即可求得.
【详解】根据图象可得，，
所以，可求得，，
解之可得 ，又因，所以，
则，所以.
故选：A
【变式3】（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ）
A．的解析式为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上是减函数
D．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
【答案】AC
【分析】根据函数的部分图象，求出，得值，写出函数的解析式，由正弦函数的性质逐一分析即可.
【详解】根据函数的部分图象知，
，且，所以；
又，
，解得，
，故正确；
时，，不是最值，故错误；
时，
，单调递减，故正确；
将的图象向左平移个单位长度，
得得图象，故错误；
故选：.
【变式4】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则 .

【答案】
【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由图象可知，即，
又，所以，
则，
因为，即符合题意，
综上.
故答案为：.
题型04函数的图象与性质的综合应用
【典例1】（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，x∈R.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当时，求函数的最值；
(3)当时，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)对称轴为，，对称中心为，
(2)最大值为1，最小值为
(3)和
【分析】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴;
（2）先求的范围，再结合正弦函数的图象求函数的最值；
（3）先求再的上的单调递区间，再取与区间上的交集部分即可.
【详解】（1）∵
，
令，解得，
所以对称轴为；
令，解得，
所以对称中心为.
（2）∵，
∴，
∴，
所以的最大值1，最小值.
（3）由（1）得，
令，
得，
又因为，所以的单调递增区间为和.
【典例2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数．
(1)求最小正周期；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；
(3)若在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再结合正弦型函数周期公式求最小正周期；
（2）根据函数图象变换法则求函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心；
（3）由已知可得在上恒成立，再结合正弦函数性质求的值域，结合恒成立性质可得结论.
【详解】（1）因为
，
所以函数y=fx的最小正周期为．
（2）将函数y=fx的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数y=gx的图象，
则，
令=，得，
所以对称中心为，.
（3）当时，，
则，
所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
∴实数的取值范围为．
【典例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)先把函数的图象向左平移个单位长度．再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象可得可求出，求出周期，从而可求出，再将代入函数中可求出的值，从而可求出的解析式；
（2）根据三角函数图象变换规律求出，利用正弦函数的性质求出在上的值域，由方程有实数根，转化为与的图象有交点，从而可求出实数a的取值范围．
【详解】（1）由图象可得，，解得，
所以，得，
所以，
因为的图象过点，所以，
所以，所以，
所以
因为，所以，
所以；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，得，
再向上平移1个单位长度，得，所以，
由，得，则，
所以，所以，即，
由，得，
因为关于x的方程有实数根，
所以与的图象有交点，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
【变式1】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求函数的单调递增区间：
(2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，接着依据题意求出，进而求出函数，再令，接着求解不等式即可得解.
（2）先由三角变换规则结合（1）得，接着由得，再由正弦函数图像性质即可求出函数y=gx在区间上的值域.
【详解】（1）因为
，
又由题，所以，
所以，
令，则，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1），
故由题意可得，
当，，
故由正弦函数图像性质可得，
所以即，
所以函数y=gx在区间上的值域为.
【变式2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（）.
(1)当时，求的最大值以及取得最大值的x的集合；
(2)若在上恰有两个零点，且在上单调递増，求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简求解即可；
（2）结合正弦函数的零点和单调性求解即可.
【详解】（1），
当时，，故的最大值为2，
此时，即，
故最大值的x的集合为：.
（2）若，则，
在上恰有两个零点，故，
解得，
若，则，
在上单调递増，
故，
解得，且
故当时，，
所以的取值范围是
【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由整体代入法即可求解单调区间；
（2）依次得的表达式，由换元法、参变分离即可求解.
【详解】（1）由题意，
由解得，
故函数的单调增区间；
（2）由题意得，故，
令，
因为，所以，故.
故函数转化为，令得，
又因为在都为增函数，故在为增函数，
所以与最多只有一个交点.
因为函数有两个不同的零点，
故与有两个不同的交点.
所以.
故，
所以实数的取值范围.
题型05 函数的图象与三角恒等变换
【典例1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数在区间上的最大值为6，
(1)求常数的值；
(2)求的单调递减区间；
(3)求使成立的的取值集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解；
（2）由（1）可知：，结合正弦函数的单调性分析求解；
（3）分析可得，结合正弦函数性质分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值，
即，解得.
（2）由（1）可知：，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
（3）由（1）可知：，
令，可得，
则，解得，
所以的解集为.
【典例2】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)设，若为偶函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得，进一步结合三角恒等变换得，分析可知原不等式等价于且（），故只需求出在给定区间上的最值即可；
（2）根据已知求得，原题不等式等价于，（，），其中ℎx的最值与有关，由此即可求解的范围.
【详解】（1）因为f(x)=sin(2x+φ)(0