专题01 指数函数、对数函数（知识串讲+热考题型）-【中职专用】高一数学下学期期末复习讲与练（高教版2021·基础模块下册）

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考点串讲
考点一、实数指数幂
（1）n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 eq \r(n,a) 表示．
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 eq \r(n,a) 表示，负的n次方根用符号 －eq \r(n,a) 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±eq \r(n,a)．
负数没有偶次方根．
0的n(n∈N*)次方根是0，记作 eq \r(n,0)＝0．
（2）根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
（3）实数指数幂的有关概念：
零指数幂：a0＝1，这里a≠0.
负整数指数幂：a－n＝ eq \f(1,an) (a≠0，n∈N*)．
正分数指数幂：aeq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
负分数指数幂：aeq \s\up6(-\f(m,n))＝ eq \f(1,\r(n,am)) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
（4）实数指数幂的运算法则：
； ；．
考点二、指数函数
（1）指数函数的概念
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
结构特征：底数：大于零且不等于1的常数；
指数：仅有自变量；
系数：的系数是1.
（2）指数函数的图象与性质
考点三、对数及对数函数
（1）对数
①对数的定义：若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.
负数和零没有对数.
对数式与指数式的互化：.
②几个重要的对数恒等式
，，.
③常用对数与自然对数
常用对数：，即；
自然对数：，即(其中…).
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④对数的运算法则：如果，那么
加法：
减法：
数乘：
对数恒等式：
常用变形：
换底公式：
（2）对数函数
①对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) .
②特殊的对数函数
常用对数函数：以10为底的对数函数.
自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
③对数函数的图象与性质
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；
对于底数0热考题型
类型一、实数指数幂的运算法则
【例1】设，下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，错误；
对于B， ，正确；
对于C，，错误；
对于D，，错误，
故选：B.
【变式1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故选：B.
【变式2】化简结果为（ ）
A．aB．bC．D．
【答案】A
【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：，
故选：A.
类型二、指数函数和对数函数的结构特征
【例1】若函数是指数函数，则（ ）
A．且B．C．或D．
【答案】D
【解析】若函数是指数函数，则，解得，或，
又指数函数的底数且，故.
故选：．
【例2】若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【解析】根据对数函数的定义有，解得.
故答案为：5．
【变式1】函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
【变式2】已知对数函数，则 ．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，可得，解得．
故答案为：2.
类型三、指数函数和对数函数恒过定点
【例1】函数的图象一定过定点 ．
【答案】
【解析】函数，由指数函数的性质，令，可得，
当时，可得，图象一定过定点.
故答案为：．
【例2】函数曲线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对数函数恒过点，所以函数曲线恒过点.
故选：C.
【变式1】函数的图象恒过的定点是 ．
【答案】
【解析】指数函数恒过定点，令得，此时，
故函数的图象恒过的定点是.
故答案为：．
【变式2】函数(且)的图象恒过定点 .
【答案】
【解析】因为函数(且)，令，解得，
所以，即函数恒过点.
故答案为：.
类型四、指数函数和对数函数的比较大小
【例1】已知,,,则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造可知单调递增，，，
构造可知单调递减，，，
构造可知单调递减，，，
所以，
故选：A.
【变式1】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；
因为函数在上单调递减，则，所以，
综上，.
故选：A.
【变式2】已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，故.
故选：C.
类型五、指数函数和对数函数的图像
【例1】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以单调递增，且恒过点，故A为正确答案.
故选：A．
【例2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以,
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即,
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D.
【变式1】函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意，故选：D.
【变式2】函数与函数且的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在单调递减，没有符合的选项；
当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在单调递增，符合的选项为B.
故选B.
类型六、指数函数和对数函数的综合
【例1】已知函数，其中是指数函数．
（1）求的表达式；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）是指数函数，所以，解得或(舍)，∴.
（2）由（1）知：，∴，解得，解集为．
【变式1】已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】由题意可得，所以，
故答案为：1.
【变式2】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.
【答案】；奇函数
【解析】解：由解得或，所以的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，