2023-2024学年上海市长宁区延安初级中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年上海市长宁区延安初级中学八年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．1＝0B．5x2
C．ax2+x﹣6＝0D．x（x+1）＝5x﹣1
2．（2分）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列函数，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．yB．yC．yD．y
4．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如果k＜0，那么函数y＝（1﹣k）x与y在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）已知在△ABC中，点D在边AB上（点D不与点A、点B重合），联结CD．
①如果∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，那么AB＝2CD．
②如量∠ACB＝90°，AB＝2CD，那么CD是边AB上的中线．
③如果CD是边AB上的中线，AB＝2CD，那么∠ACB＝90°．
下列说法正确的是（ ）
A．①②是真命题，③是假命题
B．①③是真命题，②是假命题
C．②②是真命题，①是假命题
D．①②③都是真命题
二、填空题（每题3分，共36分）
7．（3分）函数的定义域是 ．
8．（3分）化简： .
9．（3分）如果函数f（x），那么f（1）＝ ．
10．（3分）在直角坐标平面内点A（2，﹣1）与点B（﹣2，﹣3）的距离等于 .
11．（3分）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是 ．
12．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
13．（3分）如果点M（﹣1，y）、点N（，y2）都在函数y的图象上，且y1＜y2，那么m的取值范围是 .
14．（3分）在实数范围内因式分解：3x2﹣xy﹣y2＝ ．
15．（3分）如果关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CM分别是△ABC的高和中线，如果∠DCM＝20°，那么∠A的度数等于 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，点D在边BC上，联结AD，将△ADC沿着AD翻折，点C的对应点为点E，联结EB，如果AE∥BC，那么BE的长等于 ．
18．（3分）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知△ABC与△DEF是一对面积都等于S的偏等积三角形，且AB＝AC＝DE＝DF，BC＝a，那么EF的长等于 （结果用含a和S的代数式表示）．
三、解答题（共52分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝12．
21．（6分）某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，l1、l2分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：
（1）该厂前年采购原材料的单价是每吨 万元；
（2）该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 ；
（3）如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 ．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AC＝2．
（1）求证：AB⊥BC：
（2）如果CA平分∠BCD，且∠D＝30°，求△ACD的面积．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF．
（1）求证：∠ABD＝∠FDE；
（2）求证：AB＝CD+EF．
24．（8分）已知在直角坐标平面内，函数y的图象经过点A（﹣4，a），点A关于x轴的对称点B在直线y＝kx上．
（1）求k的值：
（2）点P在射线BO上，点Q是坐标平面内一点，PQ⊥x轴．如果△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，求点Q的坐标．
25．（12分）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点P在边AC上，联结BP．
（1）如图1，如果点P在线段AB的垂直平分线上，求证：AP＝PC；
（2）过点P作PD⊥BP，交边BC于点D，
①如图2，如果点P是线段AC的中点，且BD＝2CD，求∠C的度数；
②填空：如果AB＝6，BC＝8，且△ABP是以BP为腰的等腰三角形，那么PD的长等于 ．
2023-2024学年上海市长宁区延安初级中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．1＝0B．5x2
C．ax2+x﹣6＝0D．x（x+1）＝5x﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．0中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，ax2+x﹣6＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x（x+1）＝5x﹣1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（2分）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、|a+b|，不是最简二次根式，符合题意；
D、是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
3．（2分）下列函数，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．yB．yC．yD．y
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质，可以写出各个选项中的函数，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：在函数y中，在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意；
在函数y中，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
在函数y中，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
在函数y中，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键明确正比例函数的性质和反比例函数的性质，能够根据函数解析式，写出y随x的变化如何变化．
4．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化简各二次根式，然后依据同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解：∵，2，，3，
∴与是同类二次根式．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，将各二次根式化简为最简二次根式是解题的关键．
5．（2分）如果k＜0，那么函数y＝（1﹣k）x与y在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据k＜0，则1﹣k＞0，判断正比例函数和反比例函数所处的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：A、∵k＜0，
∴1﹣k＞0，
∴函数y＝（1﹣k）x的图象经过第一、三象限，
∴该选项不符合题意；
B、∵k＜0，
∴反比例函数图象在第二、三象限，
∴该选项不符合题意；
C、∵k＜0，
∴1﹣k＞0，
∴反比例函数图象在第二、四象限，数y＝（1﹣k）x的图象经过第一、三象限，
∴该选项符合题意；
D、∵k＜0，反比例函数图象在第二、四象限，
∴该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，主要理解一次函数和反比例函数y中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
6．（2分）已知在△ABC中，点D在边AB上（点D不与点A、点B重合），联结CD．
①如果∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，那么AB＝2CD．
②如量∠ACB＝90°，AB＝2CD，那么CD是边AB上的中线．
③如果CD是边AB上的中线，AB＝2CD，那么∠ACB＝90°．
下列说法正确的是（ ）
A．①②是真命题，③是假命题
B．①③是真命题，②是假命题
C．②②是真命题，①是假命题
D．①②③都是真命题
【分析】根据直角三角形的性质和判定方法分别判断即可确定正确的选项．
【解答】解：根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半可以判断①正确；
故①正确，是真命题；
如果∠ACB＝90°，AB＝2CD，那么CD是边AB上的中线，
故②正确，是真命题；
根据一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形可以判定③正确，
故③是真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质及判定方法，难度不大．
二、填空题（每题3分，共36分）
7．（3分）函数的定义域是 x≠0 ．
【分析】由于x是分母，由此得到x≠0，由此即可确定自变量x的取值范围．
【解答】解：依题意得x≠0．
故答案为：x≠0．
【点评】此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8．（3分）化简： .
【分析】根据二次根式的性质即可化简得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，关键是熟练掌握二次根式的性质．
9．（3分）如果函数f（x），那么f（1）＝ ．
【分析】把x1代入进行计算即可．
【解答】解：∵函数f（x），
∴f（1）．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
10．（3分）在直角坐标平面内点A（2，﹣1）与点B（﹣2，﹣3）的距离等于 2 .
【分析】直接利用两点间的距离公式求解．
【解答】解：∵A（2，﹣1）、B（﹣2，﹣3），
∴点A和点B的距离2．
故答案为：2．
【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
11．（3分）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是 以A为圆心，以3cm为半径的圆 ．
【分析】根据圆的定义即可判断．
【解答】解：到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是：以A为圆心，以3cm为半径的圆．
故答案为：以A为圆心，以3cm为半径的圆．
【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．
12．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
13．（3分）如果点M（﹣1，y）、点N（，y2）都在函数y的图象上，且y1＜y2，那么m的取值范围是 m＜﹣2 .
【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可．
【解答】解：∵点M（﹣1，y）、点N（，y2）都在函数y的图象上，且y1＜y2，
∴2+m＜0，
∴m＜﹣2，
故答案为：m＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
14．（3分）在实数范围内因式分解：3x2﹣xy﹣y2＝ 3（xy）（xy） ．
【分析】先把原式变形为3（x2xyy2），可得到3[（xy）2y2]，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解
【解答】解：3x2﹣xy﹣y2
＝3（x2xyy2）
＝3（x2xyy2y2y2）
＝3[（xy）2y2]
＝3（xyy）（xyy）
＝3（xy）（xy）．
故答案为：3（xy）（xy）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．
15．（3分）如果关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝32﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4k×（﹣1）＞0，
解得k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CM分别是△ABC的高和中线，如果∠DCM＝20°，那么∠A的度数等于 55° ．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CM＝AM，得到∠A＝∠ACM，求出∠ACD＝∠ACM﹣∠DCM＝∠A﹣20°，由直角三角形的性质得到∠A+∠ACD＝90°，因此∠A+∠A﹣20°＝90°，即可求出∠A＝55°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM是△ABC的中线，
∴CMAB，
∴CM＝AM，
∴∠A＝∠ACM，
∴∠ACD＝∠ACM﹣∠DCM＝∠A﹣20°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A+∠A﹣20°＝90°，
∴∠A＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，点D在边BC上，联结AD，将△ADC沿着AD翻折，点C的对应点为点E，联结EB，如果AE∥BC，那么BE的长等于 ．
【分析】由∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，根据勾股定理求得BC＝12，由翻折得∠AED＝∠ACB＝90°，由AE∥BC，得∠CAE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠BDE＝∠AED＝90°，可证明四边形ACDE是正方形，则DC＝DE＝AC＝5，所以BD＝7，则BE，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴BC12，
由翻折得∠AED＝∠ACB＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∵AE＝AC，
∴四边形ACDE是正方形，
∴DC＝DE＝AC＝5，
∴BD＝BC﹣DC＝12﹣5＝7，
∴BE，
故答案为：．
【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得DC＝DE＝5是解题的关键．
18．（3分）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知△ABC与△DEF是一对面积都等于S的偏等积三角形，且AB＝AC＝DE＝DF，BC＝a，那么EF的长等于 （结果用含a和S的代数式表示）．
【分析】如图：AB＝AC＝DE＝DF，过C作CM⊥AB于M，过F作FN⊥ED交ED延长线于N，延长BA到K使AK＝AC，由三角形面积公式得到AB•CMDE•FN＝S，因此CM＝FN，而AC＝DF，即可证明Rt△AMC≌Rt△DNF（HL），得到∠MAC＝∠NDF，推出∠CAK＝∠EDF，即可证明△ACK≌△DFE（SAS），得到EF＝CK，△KBC的面积＝2S，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，∠K＝∠ACK，因此∠ACB+∠ACK＝∠ABC+∠K180°＝90°，于是△KBC的面积BC•CK＝2S，即可求出CK，得到EF．
【解答】解：如图：AB＝AC＝DE＝DF，
过C作CM⊥AB于M，过F作FN⊥ED交ED延长线于N，延长BA到K使AK＝AB，
∵ABC的面积AB•CM＝S，△DEF的面积DE•FN＝S，
∴CM＝FN，
∵AC＝DF，
∴Rt△AMC≌Rt△DNF（HL），
∴∠MAC＝∠NDF，
∵∠CAK＝180°﹣∠MAC，∠EDF＝180°﹣∠NDF，
∴∠CAK＝∠EDF，
∵AK＝AC＝DE＝DF，
∴△ACK≌△DFE（SAS），
∴EF＝CK，△KBC的面积＝2S，
∵AK＝AC＝DE＝DF，
∴∠ABC＝∠ACB，∠K＝∠ACK，
∴∠ACB+∠ACK＝∠ABC+∠K180°＝90°，
∴∠BCK＝90°，
∴△KBC的面积BC•CK＝2S，
∵BC＝a，
∴CK，
∴EF．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键是证明Rt△AMC≌Rt△DNF（HL），△ACK≌△DFE（SAS），△KBC是直角三角形．
三、解答题（共52分）
19．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可．
【解答】解：
＝22
2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．
20．（5分）解方程：（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝12．
【分析】把方程看作关于x﹣1的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为x﹣1﹣6＝0或x﹣1+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝12，
（x﹣1）2﹣4（x﹣1）﹣12＝0，
（x﹣1﹣6）（x﹣1+2）＝0，
x﹣1﹣6＝0或x﹣1+2＝0，
所以x1＝7，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
21．（6分）某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，l1、l2分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：
（1）该厂前年采购原材料的单价是每吨 3 万元；
（2）该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 yx ；
（3）如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 25% ．
【分析】（1）根据购买160吨原材料需要花费480万元可得出结论；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出该厂去年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式；
（3）设每年的增长率是a，根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图可知，该厂前年采购原材料的单价是每吨3（万元），
故答案为：3；
（2）设该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是y＝ax，
∵点（160，750）在该函数图象上，
∴750＝160a，
解得a，
即该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是yx，
故答案为：yx；
（3）设每年的增长率是a，
根据题意得：480（1+a）2＝750，
解得a125%，a2（舍去），
∴该原材料的单价从前年开始，每年的增长率是25%，
故答案为：25%．
【点评】本题考查一次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AC＝2．
（1）求证：AB⊥BC：
（2）如果CA平分∠BCD，且∠D＝30°，求△ACD的面积．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ABC＝90°，即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，先利用角平分线的性质可得AB＝AE＝2，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE的长，从而求出CD的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝2，BC＝4，AC＝2．
∴AB2+BC2＝（2）2+42＝28，AC2＝（2）2＝28，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∵CA平分∠BCD，AE⊥CD，AB⊥CB，
∴AB＝AE＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，
∴CE4，
在Rt△ADE中，∠D＝30°，
∴DEAE＝6，
∴CD＝CE+DE＝10，
∴△ACD的面积CD•AE10×210，
∴△ACD的面积为10．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF．
（1）求证：∠ABD＝∠FDE；
（2）求证：AB＝CD+EF．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△BAD≌Rt△DFE，可得∠ABD＝∠FDE；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝DF，∠ADB＝∠DEF，由等腰三角形的性质和外角性质可证CF＝EF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵EF⊥AC，
∴∠F＝90°＝∠BAC，
在Rt△BAD和Rt△DFE中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△DFE（HL），
∴∠ABD＝∠FDE；
（2）∵Rt△BAD≌Rt△DFE，
∴AB＝DF，∠ADB＝∠DEF，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠ADB﹣∠DBE＝∠DEF﹣∠DEB，
∴∠BCD＝∠CEF，
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴AB＝DF＝DC+CF＝DC+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（8分）已知在直角坐标平面内，函数y的图象经过点A（﹣4，a），点A关于x轴的对称点B在直线y＝kx上．
（1）求k的值：
（2）点P在射线BO上，点Q是坐标平面内一点，PQ⊥x轴．如果△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣4，a）代入y，得到点A的坐标，从而得到点B的坐标，代入y＝kx解出k的值；
（2）设点P的坐标为（m，），连接AP，作∠PAQ＝90°，AQ＝AP，过点A作直线平行于y轴，分别过点P，Q作PM，QN垂直于该直线，垂足为M，N，证明△ANQ≌△PMA，求出点Q的坐标，通过xP＝xQ，求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣4，a）代入y，得a＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，2），
∵点A与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），
把点B（﹣4，﹣2）代入y＝kx，解得k；
（2）设点P的坐标为（m，），连接AP，作∠PAQ＝90°，AQ＝AP，过点A作直线平行于y轴，分别过点P，Q作PM，QN垂直于该直线，垂足为M，N，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠QAN＝90°，
∴∠APM＝∠QAN，
∵∠QNA＝∠AMP＝90°，AQ＝AP，
∴△ANQ≌△PMA（AAS），
∴AM＝NQ，AN＝PM，
∵A（﹣4，﹣2），P，
∴AM＝NQ，AN＝PM＝m+4，
∴点Q的坐标为，
∵PQ⊥x轴，
∴xP＝xQ，
即，解得，
∴点Q的坐标为．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，本题的关键是根据题意画图，通过构造全等研究线段的数量关系，从而求出点Q的坐标．
25．（12分）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点P在边AC上，联结BP．
（1）如图1，如果点P在线段AB的垂直平分线上，求证：AP＝PC；
（2）过点P作PD⊥BP，交边BC于点D，
①如图2，如果点P是线段AC的中点，且BD＝2CD，求∠C的度数；
②填空：如果AB＝6，BC＝8，且△ABP是以BP为腰的等腰三角形，那么PD的长等于 或 ．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得AP＝BP，则∠A＝∠ABP，再证∠CBP＝∠C，得PC＝BP，即可得出结论；
（2）①取BD的中点E，连接PE，由直角三角形斜边上的中线性质得PEBD＝BE＝DE，再证△BPE≌△CPD（SAS），得∠BPE＝∠CPD，则∠EPD＝∠EDP＝∠C+∠CPD＝2∠C，即可解决问题；
②分两种情况，a、BP＝AP时，b、BP＝AB＝6时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出PD的长即可．
【解答】（1）证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠CBP＝∠C，
∴PC＝BP，
∴AP＝PC；
（2）解：①如图2，取BD的中点E，连接PE，
则BE＝DE，BD＝2BE＝2DE，
∵PD⊥BP，
∴∠BPD＝90°，
∴PEBD＝BE＝DE，
∴∠BPE＝∠PBC，∠EPD＝∠EDP，
∵BD＝2CD，
∴BE＝CD，
∵∠ABC＝90°，点P是线段AC的中点，
∴BPAC＝CP，
∴∠PBE＝∠C，
在△BPE和△CPD中，
，
∴△BPE≌△CPD（SAS），
∴∠BPE＝∠CPD，
∴∠BPE＝∠CPD＝∠PBC＝∠C，
∴∠EPD＝∠EDP＝∠C+∠CPD＝2∠C，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE+∠EPD＝90°，
即∠C+2∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
即∠C的度数为30°；
②∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC10，
分两种情况：
a、如图3，BP＝AP时，
由（1）可知，BP＝AP＝PCAC＝5，
过点P作PM⊥BC于点M，
则BM＝CMBC＝4，
∴PM3，
设DM＝x，则BD＝4+x，
在Rt△BPD和Rt△PDM中，由勾股定理得：PD2＝BD2﹣BP2＝PM2+DM2，
即（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得：x，
∴DM，
∴PD；
b、如图4，BP＝AB＝6时，∠A＝∠BPA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵PD⊥BP，
∴∠BPD＝90°，
∴∠BPA+∠CPD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠C＝∠CPD，
∴PD＝CD，
设PD＝CD＝m，则BD＝8﹣m，
在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP2+PD2＝BD2，
即62+m2＝（8﹣m）2，
解得：m，
∴PD；
综上所述，PD的长等于或，
故答案为：或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
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2
3
4
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6
答案
D
C
C
C
C
D