2023-2024学年上海市长宁区复旦附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区复旦附中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列代数式，，33，，中，二次根式有
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列说法正确的是
A．的根为B．是的根
C．方程的根为D．没有实数根
4．（3分）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是
A．B．C．D．
5．（3分）下列等式中，一定成立的是
A．B．C．D．
6．（3分）命题：①邻补角互补；
②三角形的一个外角等于它的两个内角和；
③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角；
⑤两点之间线段最短；
其中真命题的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共7小题，每题2分，共24分）
7．（2分）写出二次根式的一个有理化因式是 ．
8．（2分）化简： ．
9．（2分）方程的根是 ．
10．（2分）命题：“同角的余角相等”的逆命题是 ．
11．（2分）等式成立的条件是 ．
12．（2分）方程的常数项是1，的值为 ．
13．（2分）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
14．（2分）现代互联网技术广泛应用，催生快递行业的高速发展，上海某家小型快递公司，去年十月份与十二月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．则该公司每月投送的快递件数的增长率为为 ．
15．（2分）在实数范围内因式分解： ．
16．（2分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
17．（2分）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么 ．
18．（2分）已知等腰△，，，如果将△绕着点旋转，使点正好落在直线上的点处，那么 度．
三、解答题（本大题共9小题，共58.0分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：
21．（5分）解方程：．
22．（5分）解方程：
23．（5分）解方程：．
24．（5分）已知关于的一元二次方程为常数）．如果方程根的判别式为1，求的值及该方程的根．
25．（8分）如图，要建一个面积为130平方米的长方形仓库，现有32米长的木板，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽（垂直于墙的边为宽）；
（2）如果墙长米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，直接写出墙长至少要 米？
26．（10分）已知一元二次方程、、为常数，的两个实数解为，，则有，．这个结论称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．
（1）请你证明这个定理．
（2）若关于的一元二次方程的两个实数解为，，直接写出的值（用表示）．
（3）一元二次方程的两个实数解为，，求的值．
27．（10分）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．
求证：（1）；
（2）．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．（3分）下列代数式，，33，，中，二次根式有
A．5个B．4个C．3个D．2个
解：形如的式子叫做二次根式．
在，，33，，中，
33不含根号，被开方数小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3个是二次根式，
所以，二次根式有3个．
故选：．
2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
解：因为：、；
、；
、；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：．
3．（3分）下列说法正确的是
A．的根为B．是的根
C．方程的根为D．没有实数根
解：、的根为，故本选项错误；
、时，，所以是的根，故本选项错误；
、△，方程没有实数根，故本选项错误；
、△，当时，方程没有实数根；当时，方程有实数根，故本选项错误；
故选：．
4．（3分）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是
A．B．C．D．
解：，是无理数，不符合题意；
，是无理数，不符合题意；
，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意；
故选：．
5．（3分）下列等式中，一定成立的是
A．B．C．D．
解：、一定成立，故符合题意；
、当时，，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
6．（3分）命题：①邻补角互补；
②三角形的一个外角等于它的两个内角和；
③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角；
⑤两点之间线段最短；
其中真命题的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
解：①邻补角互补，正确，是真命题，符合题意；
②三角形的一个外角等于它的不相邻的两个内角和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，不正确，故原命题错误，不符合题意；
反例：如图，在△、△中，，，高，但两个三角形不全等，
；
④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角，正确，是真命题，符合题意；
⑤两点之间线段最短，正确，是真命题，符合题意；
真命题有3个，
故选：．
二、填空题（本大题共7小题，每题2分，共24分）
7．（2分）写出二次根式的一个有理化因式是 ．
解：，
的一个有理化因式是；
故答案为：．
8．（2分）化简： ． ．
解：原式
，
故答案为：．
9．（2分）方程的根是 或 ．
解：，
，
或，
解得：或，
故答案为：或．
10．（2分）命题：“同角的余角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角 ．
解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角．
11．（2分）等式成立的条件是 ．
解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
12．（2分）方程的常数项是1，的值为 ． ．
解：，
，
由题意得：且，
解得：且，
，
故答案为：．
13．（2分）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
解：关于的方程没有实数根，
，
解得，
故答案为：．
14．（2分）现代互联网技术广泛应用，催生快递行业的高速发展，上海某家小型快递公司，去年十月份与十二月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．则该公司每月投送的快递件数的增长率为为 ．
解：由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：．
15．（2分）在实数范围内因式分解： ．
解：根据，其中、是一元二次方程的两个根，
的两个根为，，
，
故答案为：．
16．（2分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
解：由题意得：，
整理得：，
解得：或2，
当时，不是最简二次根式，不符合题意，
故答案为：．
17．（2分）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么 4 ．
解：，，
，
，，
，
在与中，
，
，，
，，
，
，
故答案为：4．
18．（2分）已知等腰△，，，如果将△绕着点旋转，使点正好落在直线上的点处，那么 37.5或52.5 度．
解：，，
，
当顺时针旋转时，落在的位置，
，
，
，
；
当逆时针旋转时，落在的位置，
，
则．
故答案为：37.5或52.5．
三、解答题（本大题共9小题，共58.0分）
19．（5分）计算：．
解：原式
．
20．（5分）计算：
解：原式
．
21．（5分）解方程：．
解：方程变形为：，
，
或，
，．
22．（5分）解方程：
解：，
，
则，即，
，
则，．
23．（5分）解方程：．
解：，
，
，，，
△，
，
，，
即：．
24．（5分）已知关于的一元二次方程为常数）．如果方程根的判别式为1，求的值及该方程的根．
解：原方程化为，
关于的一元二次方程根的判别式为1，
，△，
解得：（不符合题意，舍去），，
原方程化为：，
，．
25．（8分）如图，要建一个面积为130平方米的长方形仓库，现有32米长的木板，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽（垂直于墙的边为宽）；
（2）如果墙长米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，直接写出墙长至少要 20 米？
解：（1）设仓库的长为米，则宽为米，
由题意得：，
解得：，，
，
，不符合题意，舍去，
，
，
答：仓库的长为13米，宽为10米；
（2）宽为10米米，
此时不符合题意．
当长为20米时，宽为6.5米米，
米，
故答案为：20．
26．（10分）已知一元二次方程、、为常数，的两个实数解为，，则有，．这个结论称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．
（1）请你证明这个定理．
（2）若关于的一元二次方程的两个实数解为，，直接写出的值（用表示）．
（3）一元二次方程的两个实数解为，，求的值．
【解答】（1）证明：一元二次方程有两个实数解，，
，
，，
，
；
（2）解：关于的一元二次方程的两个实数解为，，
，，
；
（3）解：一元二次方程的两个实数解为，，
，，
，
．
27．（10分）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）平分，
，
交的延长线于，
，
在和中，
，
，
．
（2）作交于点，则，，
，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．