2024-2025学年四川省内江市高二上学期12月联考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省内江市高二上学期12月联考数学检测试题（含答案），共10页。试卷主要包含了已知直线，则“”是“”的，设为直线上的动点，过点作圆，已知直线，已知圆与圆，下列说法正确的是，设椭圆C等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
3．圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
6．椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
8．已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分）
9．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则
10．设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ）
A．B．的最大值为7，最小值为1
C．的最大值为16D．△面积的最大值为10
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 .
13．已知为圆上任意一点，则的最小值为
14．点P是椭圆上的一点，则点P到直线的距离最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分13分）已知动点与两个定点，的距离的比是2.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
16．(本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：平面EAC；
(2)求三棱锥的体积．
17．(本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长.
18．(本小题满分17分）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值．
19．(本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．）
①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
数学答案
1．C
2．C
3．D
4．C
5．B
6．B
7．A
8．D
9．BD
10. ABC
11．ABD
12．
13．
14．
15．【详解】（1）设点，动点与两个定点，的距离的比是，，即，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，化简得，解得或，
此时直线的方程为或.综上，直线的方程是或.
16．【详解】（1）连接交于，连接，∵、分别为、的中点，∴，∵平面，平面，∴∥平面；
（2）过P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，
∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，
∴PF⊥平面ABCD，故.
17．【详解】（1）设得
（2）设，得，所以有得
由题可知两式求差化简得即因为所以
所以直线的方程为联立解得或 所以
18．【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以．
取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）由（1）可知，，又，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．所以，，，
由题意知，所以．所以．设平面MBC的法向量为，
则令，得；设平面的法向量为，
，令，得；则，
设，，则上式可化为，即，所以（舍去），
所以，解得．
19．【详解】（1）若选①．由题意得：，解得：，所以：椭圆的方程为.
若选②．椭圆的焦点坐标为，则，又，得，由，得，
所以椭圆的方程为.
若选③.由题意得：，又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以，又，得，，所以椭圆的方程为.
（2）易知，设直线的方程为，联立，得：，
设点，，由根与系数的关系得，，，
所以，
设，则 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以当时，，（此时，
直线为）.故：面积的最大值为．