2024-2025学年四川省内江市高二上学期11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省内江市高二上学期11月期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
2．设向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ）
A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件
B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件
D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
10．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，其中是切点，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．
C．四边形的面积为8D．点在外接圆的外部
11．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（ ）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若三棱锥的体积是定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则 .
13．已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为 .
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．直线l：（其中）.
(1)求直线l所经过的定点P的坐标；
(2)若向量是直线的一个方向向量，求直线的一般式方程.
16．如图，等边和等边所在的平面互相垂直，求：
(1)直线与平面所成角的正弦值；
(2)平面和平面的夹角的余弦值.
17．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
(2)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
18．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.

(1)求直线AM与直线PN所成角的大小；
(2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值.
19．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案.
【详解】由直线，则其斜率为，设其倾斜角为，则，解得.
故选：B.
2．【正确答案】D
【详解】因为，可得，
即，解之可得.
故选：D
3．【正确答案】D
【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上，
故，
则，
得.
故选：D.
4．【正确答案】D
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆，故圆心，半径为，
则，
所以圆与圆的位置关系是外切.
故选：D
5．【正确答案】B
【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：B.
6．【正确答案】A
【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，
因此反射光线所在直线过点，方程为，即.
故选：A
7．【正确答案】A
【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离.
【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量，
在平面上任取一点，则，
点到平面距离
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】因为，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.
故选：C
9．【正确答案】CD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【详解】对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，
可能的结果有：两个景点都不选择；选择一个景点；选择两个景点；
事件“至少选择其中一个景点”包括选择一个景点和选择两个景点，
事件“至多选择其中一个景点”包括两个景点都不选择和选择一个景点，
所以事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，
A错误；
事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，B错误；
事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”不能同时发生，C正确；
事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”不能同时发生，
并且必有一个发生，D正确.
故选CD.
10．【正确答案】AB
【分析】结合圆的性质可直接得到结论.
【详解】如图：
因为为直角三角形，且，，所以，故A对；
根据切线的有关性质，B也正确；
，故C错误；
因为，，故点在的外接圆上，圆心为中点，故D错误.
故选：AB
11．【正确答案】BD
【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，
连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，
故，故A错误；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，
△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，
由平面，平面，则面平面，
由，平面平面，平面，
所以平面，平面，则，同理可证：，
由，,平面，故平面，
而面平面，要使平面，则必在面内，
显然平面，故C错误；
D：由知：在（含端点）上移动，
如图以为原点，分别为轴建系，
则，，，则，
设，则，
所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则，
当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确.
故选BD.
12．【正确答案】/
【详解】因为与对立且，所以，
又与相互独立且，
所以.
故
13．【正确答案】
【详解】因为点到点，的距离之和为8，
即，
所以点的轨迹为以点，为焦点的椭圆，
且，解得，所以，
所以椭圆方程为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设Mx,y，由，得，
即，化简整理得，
则此圆心为，半径为，

因为是曲线上的两点，
当都与圆相切，可使最大，
又，，
此时四边形为正方形，，
显然，当时，为锐角，不满足题意，
当时，才能取得直角，故，
所以点到直线距离要满足，
所以，化简得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）直线方程可化为：，
由解得所以直线l过定点.
（2）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，
又经过点，所以方程为：，即.
16．【正确答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：作中点O，连接，
因为为等边三角形， 所以， 同理，
又因为平面平面，所以AO⊥平面，所以,
所以分别以为轴，建立空间直角坐标系 （如图），
设，所以，则，，，，
所以 .
设为平面的法向量，，
令，则，，
所以为平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角正弦值为.
（2）解：平面的一个法向量为，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面和平面所成角为，
所以，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)，2人
(2)平均数为71，中位数为
(3)
【详解】（1）由，
解得，
因为（人），（人）．
所以不高于50分的抽取（人）
（2）平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
所以中位数为.
（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则．
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
18．【正确答案】(1)90°；
(2).
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
易得点，，，

∴，，
∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°；
（2）点，∴，，，
设平面的法向量为，
则，可得，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
整理可得，即，
因为，解得.
19．【正确答案】(1) ；
(2)x=1或；
(3).
【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.