2024-2025学年四川省南充市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省南充市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．10
6．如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．
7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为3
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为1
8．，函数的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则D．若与相互独立，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
11．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A．
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 .
13．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
14．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为 ；直线 过定点.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线的方程为．
（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
16．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：
，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；
(2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；
(3)从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.
17．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点G（G与P，B不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆
(1)求圆C与圆M的根轴l；
(2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程；
(3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标.
答案
1．【正确答案】B
【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.
故选B.
2．【正确答案】B
【详解】圆：，圆：
两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为.
故选：B
3．【正确答案】B
【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，
故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，
故，故椭圆的标准方程为.
故选：B
4．【正确答案】C
【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；
当与直线平行时，，则
∴或，
当时显然成立，当时，，，
整理后与重合，故舍去，
∴，满足必要条件；
∴“”是“直线与直线平行”的充要条件
故选：C
5．【正确答案】C
【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图：
则，A1,0,0，，，
取，，，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
点到平面的距离.
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】对A：设点Px,y，
∵，则，整理得，
故C的方程为，故A正确；
对B：的圆心，半径为，
∵点到圆心的距离，
则圆上一点到点的距离的取值范围为，
而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；
对C：设点Mx,y，
∵，则，整理得，
∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，
又，则两圆内含，没有公共点，
∴在C上不存在点M，使得，C不正确；
对D：∵圆心到直线的距离为，
∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；
故选：C.
8．【正确答案】C
【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，
易知，显然.
当且仅当重合时取得等号.
故选：C
9．【正确答案】BC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】对于A：若与互斥，则，故A错误；
对于B：若与互斥，则，故B正确；
对于C：若与相互独立，则，故C正确；
对于D：若与相互独立，
则，故D错误.
故选BC.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确；
对于B：在中，由于，故四点共面，B正确；
对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：ABD．
11．【正确答案】ABD
【详解】由题可知，,故选项A正确；
建立如图所示的空间直角坐标系

得，,,,，
由题可知，，平面的一个法向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，选项B正确；
由题可知,，
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选项C错误；
易知，,，
设点到直线的距离为，则，故选项D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】2
【详解】因为，所以，即，
所以，解得.
故
13．【正确答案】
【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，即，
故．
14．【正确答案】
【详解】由圆得圆心，半径，
由题意可得,
在中，，
，
可知当垂直直线时，，
所以四边形的面积的最小值为，
可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，
设，则圆心为，半径为，
则该圆方程为，
整理可得，
联立两圆可得直线AB的方程为，即
可得当时，，故直线过定点.
故；.
15．【正确答案】（1）；（2）直线的方程为：或
【详解】
试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程.
试题解析：（1）设直线的方程为：
直线过点（1，-3），
解得
直线的方程为：．
(2)设直线的方程为：
令，得；令，得
则，得
直线的方程为：或．
16．【正确答案】(1)30；
(2)众数为55；第80百分位数为66；
(3).
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数；
（3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，数学成绩位于的有4人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为：，
所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：；
（2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；
年龄在区间上的频率为：；
年龄在区间上的频率为：，
故第80百分位数位于60,70之间，设为，
所以，解得，
所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66；
（3）由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，
分别记为，年龄在区间上的读书者有人，分别记为，
从上述6人中选出2人，则有，共15种情况；
其中恰有1人在的情况有，共8种情况；
所以恰有1人在的概率为.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点，
则，可得，即，
因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程，
即，整理得，
所以点的轨迹方程为.

（2）解：过点定点1,0的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为，
设直线，即，
则圆心到直线的距离为，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，取得最大值，此时，解得或，
所以取得最大值，此时直线的方程为或.

18．【正确答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，因为平面，
所以平面；
（2）因为平面， ，
所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，设，
，
由（1）可知平面，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
所以有，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）设，可得点的坐标为，
所以，由（2）可知平面的法向量为，
假设与平面所成角的正弦值为，
所以有：
，或舍去，
因此假设成立，所以在棱上存在点G（G与P，B不重合），使得与平面所成角的正弦值为，的值为.
19．【正确答案】(1)；
(2)；
(3)的最小值为，此时.
【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，
设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点，
则由题可得，即，
整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线.
（2）由题意可知且，，
设与相交于点H，
则，
又，
所以，所以取得最小值时即为取得最小值时，
又，所以取得最小值时亦即PC取得最小值时，
而PC取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为，
此时即，
联立，故此时，
所以此时中点坐标为，
所以以线段为直径的圆的方程为，即，
则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即.
（3）设关于根轴对称的点为，
则，故，
则由三角形两边之和大于第三边可得，
连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为，
且此时即，
联立，即此时，
所以的最小值为，此时.