2023-2024学年上海市嘉定区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共17页。

1．已知集合，集合，则 .
2．已知i为虚数单位，且，则复数z的虚部为 .
3．已知不等式的解集为，则值为 .
4．已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 .
5．若，则 .
6．在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是 个.
7．函数，满足，当，，则 .
8．中国一带一路成果丰硕，2013年我国在印尼投资有2.8亿美元，仅排列外资中的第12位.10年后的今天，我国在印尼全年投资已达86亿美元.若假设中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，则从 年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者.
9．若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为 ．
10．已知项数为的等差数列满足，.若，则的最大值是 .
11．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为 .
12．设圆，直线过，斜率为，且与圆交于，两点.若线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，使得.则的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，只需将正确选项写在相应题号的空格上.
13．已知方程，.若，则方程有（ ）解
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
14．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．已知均为正数，并且，给出下列2个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中最小的数不小于.则（ ）
A．①对，②错B．①错，②对
C．①，②都错D．①，②都对
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．在锐角中，角对应的边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积，求的值.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.
(1)求证：为的中点；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．某校为了传承学校文化特色，成立2023学年上海市学生艺术团（培育团）戏剧分团，现从第一轮报名的100学生中进行考核，统计其第一轮考核评分数据，将所得100个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图.
(1)用分层抽样的方式从评分不小于90分的考生中随机抽取5人作为样本，设为评分在区间内的考生人数，求的值；
(2)若从（1）得到的样本中随机抽取2人，求这两人的评分都在区间的概率.
20．已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点.
(1)求椭圆方程；
(2)若，求证：；
(3)过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值.
21．已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在区间上单调递减，求的取值范围：
(3)若，存在两个极值点，证明.
1．
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为集合，集合，
所以.
故
2．
【分析】根据题意先求得复数后再求出复数的虚部即可．
【详解】∵，
∴，
∴复数z的虚部为．
故答案为.
易错点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z是解题的关键，另外还要注意复数的虚部是，而不是，这是解题中常出现的错误．
3．
【分析】依题意可得为方程的根，代入计算可得.
【详解】因为不等式的解集为，
所以为方程的根，
则，解得.
故
4．##
【分析】根据向量投影的概念公式，即可得出答案.
【详解】根据题意：，为两单位向量，且，
所以在上的数量投影为.
故答案为.
5．
【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】因为，即，所以，
因为，所以.
故
6．
【分析】写出展开式的通项，即可确定系数为无理数的项数.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
所以当为奇数，即当时系数为无理数，
即系数为无理数的项有个.
故
7．1
【分析】根据可得周期为2，由可得答案.
【详解】因为满足，所以的周期为，
.
故1.
8．
【分析】中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，设等差数列为，且公差为，由题意可知，，由等差数列的性质求出，令，解出，即可得出答案.
【详解】中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，
设等差数列为，且公差为，
由题意可知，，
所以，解得：，
所以，
令，则，解得：，
又因为，所以，
所以，
从2026年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者.
故答案为.
9．
【分析】利用基本不等式及圆柱的侧面积计算公式即可得出．
【详解】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为，，
旋转形成的圆柱的底面半径为，母线长，
则，即，
，得，当且仅当时取等号，
旋转形成的圆柱的侧面积，
旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．
故．
10．
【分析】设公差为，通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系，再结合二次函数的性质得到的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到，令，
当时，函数单调递增，
而，，
所以的最大值是.
故
11．
【分析】根据，得，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，再检验即可.
【详解】依题意点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例常数，且，
从而点处受污染程度，；
因为，所以，则，
当时，取得最小值，必是极小值，所以，
解得，
此时
，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以在时，取得极小值，也是的最小值，
所以污染源的污染强度的值为．
故
12．
【分析】根据直线与圆的位置关系求解.
【详解】依题意，要使线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，
使得.
只需,
所以到直线的距离，且，
即且，
解得，即，
故答案为:.
13．D
【分析】在同一平面直角坐标系中分别画出和的函数图象，通过平移的函数图象即可得解.
【详解】如图所示：

当时，方程在上有唯一解，
当且时，方程在上有两个解，
综上所述：方程在上有1个或2个解.
故选：D.
14．B
【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；
对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；
对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误；
对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误.
故选：B
15．B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B
16．A
【分析】对于①用反证法可以证明；对于②，举出反例说明其错误.
【详解】对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设,
则,则,
这与矛盾,
故中小于1的数最多只有一个, ①正确;
对于②，不妨假设中最小数为，取,
则取,
则,
即说明中最小的数可以小于，②错误,
故选：A.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题知，进而结合题意得；
（2）由三角形面积公式得，进而根据余弦定理与正弦定理求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得或，
因为为锐角三角形，
所以，，
（2）解：因为的面积，
所以，解得，
所以由余弦定理得，即，
所以，由正弦定理得
所以，
18．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）取的中点，可证明，得到即可.
（2）建系，利用空间向量法直接求线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，
因为为的中点，底面是边长为2的正方形，
所以，又因为，所以平面，
因为，平面
所以
因为，
所以，
因为为中点，
所以为的中点
（2）
因为，又，
所以，所以，
因为，，
故以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为
则，另，得
设直线与平面所成的角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据频率估计概率，计算评分不小于90分的频率即可，再根据分层抽样计算即可；
（2）结合（1），列举基本事件，根据古典概型公式求解即可.
【详解】（1）评分不小于90分的频率为，
由频率分布直方图可知，评分在之间的有人，
评分在之间的有人，
所以，用分层抽样的方式从评分不小于90分的考生中随机抽取5人作为样本，
评分在有人，评分在之间的有人，
所以，评分在区间内的考生人数的值为.
（2）由（1）知，记评分在的位考生为，评分在之间的位考生为，
所以，样本中随机抽取随机抽取2人，可能的情况有：
，共种，
其中，评分在区间内的考生有，共种，
所以，评分在区间内的考生的概率为
20．(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得到求解；
（2）易知，，与椭圆方程联立，求得A，B的横坐标，再利用弦长公式证明；
（3）设直线l方程为，则直线m的方程为，将直线l的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式得到的表达式，进而得到的表达式求解.
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）易知，，设，
由，得，解得，
则，
，
所以；
（3）如图所示：
若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，
所以直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为 ，则直线m的方程为，设，
由，消去y得，
则，，
易知，将代入直线l的方程得，即，
则，
，
，
同理，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
方法点睛：本题第二三问都体现了“曲”化“直”的思想，涉及到线段问题，注意弦长公式的应用.
21．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，由可得结果；
（3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论.
【详解】（1）由题意知：，定义域为；
，又，
曲线在处的切线方程为；
（2），又在区间上单调递减，
在上恒成立， 即在上恒成立，
在上恒成立；
设，则，
当时，，单调递增，，
，即实数的取值范围是.
（3）由（2）知：满足，
不妨设，则.
.
则要证，即证，
即证，也即证成立.
设函数，则，
在单调递减，又，当时，，
，即.
关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题.