2025年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析

这是一份2025年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析，共16页。试卷主要包含了 函数的定义域是______， 若，则的最小值是______， 函数的零点是______等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设全集，集合，集合，则______．
【答案】.
【解析】
【分析】
由已知得，结合全集即可求.
【详解】由题意有，，而，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题.
2. 已知方程的两个根为、，则的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可.
【详解】因为方程的两个根为、，
由韦达定理得，，，
所以.
故答案为：3.
3. 不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解.
【详解】不等式等价于，即，
解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
4. 已知，化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数幂的运算化简即可；
【详解】原式.
故答案为：.
5. 函数的定义域是______.
【答案】.
【解析】
【分析】化分数指数幂为根式，再由分母不为0即可求得定义域.
【详解】因为函数，所以其定义域为.
故答案为：.
6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是______.（结果精确到个位）
【答案】32
【解析】
【分析】设7级时能量为，6级时能量为，利用已知条件结合对数的运算性质求出即可．
【详解】设7级时能量为，6级时能量为，
则，
两式相减得，
所以，所以，
注意到，
所以.
故答案为：.
7. 已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可；
【详解】当时，方程为，解得；
当时，方程至少有一个实根，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
8. 若，则的最小值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可；
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2.
故答案为：2.
9. 若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围．
【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限，
则，即，
所以实数取值范围为．
故答案为：．
10. 函数的零点是______.
【答案】6
【解析】
【分析】令，解方程求得答案.
【详解】令，即，
则，，
解得或（舍去），
所以函数的零点为6.
故答案为：6.
11. 已知函数偶函数，是奇函数，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得.
【详解】因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，
因为①，
所以，
即②，
则①②两式相加可得，
即.
故答案为：.
12. 已知则方程的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的性质讨论和时代入求解即可；
【详解】当时，，若，，此方程恒成立，故；
若，，
因为，，所以方程在时无解；
当时，，，即，解得，
所以方程的解集是.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中，与函数相同的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，进行判断．
【详解】对于A，因为定义域为，与函数，不是相同函数，故A错误；
对于B，定义域为R，且，与函数相同，故B正确；
对于C，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数，故C错误；
对于D，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数，故D错误；
故选：B．
14. 已知，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果.
【详解】由，则，又，
.
故选：A.
15. 若：，：，则是的（ ）.
A. 充分非必要条件B. 必要非充要条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】由可得，
且：，所以是的必要非充要条件.
故选：B
16. 命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）.
A. 、都是真命题B. 、都是假命题
C. 真命题，是假命题D. 是假命题，是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假；
对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假.
【详解】令，其定义域为R，
对任意的实数，满足，
则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足，
即是真命题；
假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足，
当时，，
由，则，则，出现矛盾，
所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足，
即是假命题.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可；
（2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，则，代入，
得，即，解得，
因为，则，所以，
所以若，求实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，方程的两个根为，
当，即时，集合，
因为，，所以，解得，则；
当，即时，集合，满足；
当，即时，集合，
因为，，所以，此时，
综上，实数的取值范围为.
18 已知.
（1）当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值.
【答案】（1）单调递减；证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）由函数的单调性定义结合对数函数的单调性证明即可；
（2）由复合函数的单调性结合对数的运算分和讨论即可；
【小问1详解】
单调递减，
证明：当时，，
设，
则，
因为，且为增函数，所以，
所以，所以在区间上的单调递减.
【小问2详解】
当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减，
所以，
即；
当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递增，
所以，
即，
综上，或.
19. 某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为.
（1）试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值；
（2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值；
（2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题知，，
即，
所以在上递减，此时，
且在上递减，此时，
综上，该函数的最大值为.
【小问2详解】
由（1）知，，
则令，解得，
所以此时；
令，解得，
综上，的取值范围为.
20. 已知.
（1）作出函数的大致图象；
（2）记，证明函数是奇函数，并求的值域；
（3）若是函数的图象上任意一点，点，点，求线段长度的最小值和线段长度的最小值.
【答案】（1）答案见详解
（2）证明见详解；
（3）线段长度的最小值为2，线段长度的最小值.
【解析】
【分析】（1）函数的图象是由的图象平移变换得到.
（2）由函数奇偶性的定义即可证明函数是奇函数；令，则，利用，即可求得的值域.
（3）设，由两点间距离公式表示出，再利用基本不等式和函数的性质求出最小值即可.
【小问1详解】
函数，
函数的图象是由的图象右平移一个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到，则函数的大致图象如下：
【小问2详解】
因为，所以，
由，则定义域为，关于原点对称，
，
所以函数是奇函数；
令，则，则，
所以，因为，所以，解得或，
即的值域为.
【小问3详解】
若是函数的图象上任意一点，点，点，
设在上，
则，
令，则，
当且仅当，即时，取等号，
即线段长度的最小值为2；
，
则，
令，
则，
令，
则，
当时，则线段长度求得最小值.
21. 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”.
（1）判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由；
（2）若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：.
【答案】（1）在上是“舒缓函数”，在上不是“舒缓函数”，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题干中所给“舒缓函数”定义可完成判断；
（2）不妨设，，则，进而结合恒成立问题求解即可；
（3）设，并不妨设，当时，由题意易得结论成立，当时，利用及可完成证明.
【小问1详解】
令，
则，
故在上是“舒缓函数”；
令，
则，取，
则，
故在上不是“舒缓函数”；
【小问2详解】
因函数在上是“舒缓函数”，
则对，
不妨设，则有，
，则，
则，时，
，
即.
【小问3详解】
设，不妨设.
若，因在上是“舒缓函数”，
则；
若，则
.
综上，