2024-2025学年河南市南阳市高一上册期末数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南市南阳市高一上册期末数学质量检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1. 在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品. 从中任意抽出3件的必然事件是( )
A. 3件都是正品B. 至少有1件是次品
C. 3件都是次品D. 至少有1件是正品
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一组数据平均数是4，方差是2，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（ ）
A. 12，10B. 12，4C. 10，4D. 10，18
4. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A. 105B. 556C. 671D. 169
6. 已知函数，若，有，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：）
A. 200天B. 210天
C. 220天D. 230天
8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点至多有1个
C. 若，则
D. 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
10. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在，空气质量为二级；PM2.5日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（ ）
A. 这10日PM2.5日均值的80%分位数为60
B. 前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差
C. 前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差
D. 这10日PM2.5日均值的中位数为43
12. 已知，，且则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
14. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则_______.
15. 已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是__________.
16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 设全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
（1）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
（2）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
（3）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
20 已知函数
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
21. 某城市一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），
每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元.
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
22. 已知函数的定义域为R，其图像关于点对称．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的值；
（3）若函数，判断函数的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式．
2024-2025学年河南市南阳市高一上学期期末数学质量
检测试题
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1. 在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品. 从中任意抽出3件的必然事件是( )
A. 3件都是正品B. 至少有1件是次品
C. 3件都是次品D. 至少有1件是正品
【正确答案】D
【详解】试题分析：必然事件是一定会发生的事件．因次品共2件，故抽出的3件中至少有1件为正品，故选D．
考点：随机事件、必然事件．
点评：解答本题，要牢记一定会发生的事件是必然事件．
2. 命题“”的否定为（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由全称命题的否定是存在命题，即可得出答案.
【详解】命题“”的否定为.
故选：A.
3. 已知一组数据的平均数是4，方差是2，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（ ）
A 12，10B. 12，4C. 10，4D. 10，18
【正确答案】D
【分析】根据平均数和方差公式结合题意求解即可.
【详解】因为一组数据的平均数是4，方差是2，
所以，
，
所以数据，的平均数为
，
方差为
，
故选：D
4. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.
【详解】解：，
因为，
所以是偶函数，故排除AD，
当时，令，得或，
当或时，，当时，，
故选：B
5. 从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A. 105B. 556C. 671D. 169
【正确答案】C
【分析】由随机表及编号规则确定抽取的6件产品编号，再从小到大排序，应用百分位数的求法求75%分位数.
【详解】由题设，依次读取的编号为，
根据编号规则易知：抽取的6件产品编号为，
所以将它们从小到大排序为，
故，所以75%分位数为.
故选：C
6. 已知函数，若，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据结合可得且，再根据对勾函数的性质求解的取值范围即可.
【详解】因为，又，，所以（舍去），或，所以；
又，所以，令，由对勾函数的性质知函数在上为减函数，所以，即的取值范围是．
故选：D
7. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：）
A. 200天B. 210天
C. 220天D. 230天
【正确答案】D
【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可.
【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，
则，即天.
故选：D.
8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性转化求解，
【详解】令，
由指数函数与对数函数性质得在上单调递增，
，
故为奇函数，在上单调递增，
原不等式可化为，即，
得，解得，
故选：B
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点至多有1个
C. 若，则
D. 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
【正确答案】BC
【分析】A答案根据相等函数的概念即可判断，B答案根据函数的定义即可判断，C答案直接计算即可，D答案结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断.
【详解】对于A，的定义域为，定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误.
对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有时，函数的图象与直线有一个交点.
当的定义域中不含时，函数的图象与直线没有交点，
综上所述：函数的图象与直线的交点至多有1个，故B正确.
对于C，因为，所以，所以，故C正确.
对于D，设方程的正根为，负根为，
则关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件为：，解得,故D错误.
故选：BC.
10. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.
【详解】解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.
又因为，
所以.
故选：ACD.
11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在，空气质量为二级；PM2.5日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（ ）
A. 这10日PM2.5日均值的80%分位数为60
B. 前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差
C. 前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差
D. 这10日PM2.5日均值的中位数为43
【正确答案】BD
【分析】根据百分位数、极差和方差与中位数的计算逐个选项判断即可.
【详解】对于A，将这10日PM2.5日均值从小到大排序为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，
所以这10日PM2.5日均值的80%分位数是，所以A错误；
对于B，前5日PM2.5日均值的极差为，后5日PM2.5日均值的极差为，所以B正确；
对于C，由折线图和方差的定义，知前5日PM2.5日均值的方差小于后5日PM2.5日均值的方差，所以C错误；
对于D，这10日PM2.5日均值的中位数为，所以D正确．
故选：BD．
12. 已知，，且则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据，利用均值不等式判断A，由条件可化为，据此，利用均值不等式判断B，取特殊值判断C，根据均值不等式及不等式的性质判断D.
【详解】对A，，当且仅当，
即时等号成立，故A 正确；
对B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，由，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立，
故，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【正确答案】
【分析】先根据的定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案.
【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；
因为，所以，所以的定义域为.
故答案为.
14. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则_______.
【正确答案】
【分析】先由对数函数的性质求得定点，再利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解.
【详解】因为的图象恒过定点，
令，则，，则，
设，则，得，故，
故答案为.
15. 已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】根据为幂函数、在上单调递增可得，由，，使得成立，转化为，，使得成立，
求出时和在上的最小值解不等式可得答案.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，，
，，使得成立，转化为，，使得成立，
当时，，
由可得在时恒成立，
当即时，最小值为，解得
；
当即时，的最小值为，解得；
当即时，的最小值为，解得
；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为.
16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【正确答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 设全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式可分别求得集合，根据补集和交集定义可求得结果；
（2）解含参数的一元二次不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知，即，根据包含关系可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
由得：，解得：，即，；
当时，，解得：，即；
.
【小问2详解】
由（1）知：；
由得：，即，
是的充分不必要条件，，，
且等号不会同时取到，解得：，即实数的取值范围为.
18. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
（1）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
（2）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
（3）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【正确答案】（1）0.21；
（2）0.44； （3）0.94.
【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；
（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；
（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
设事件：甲投篮命中;
事件：乙投篮命中;
事件：丙投篮命中
甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.
【小问2详解】
设事件:恰有两人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.
【小问3详解】
设事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.
19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【正确答案】（1）
（2）84 （3）总平均数为；总方差为
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；
（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.
【小问1详解】
因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，
则.
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84.
【小问3详解】
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
.
20. 已知函数
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
【正确答案】（1）
（2）①；②的值为或5
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，最小值问题，再分类讨论求解即可.
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
【小问2详解】
解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：的值为或5
21. 某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），
每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元.
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
【正确答案】（1）选②，
（2）
【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；
（2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.
【小问1详解】
因为第10天的日销售收入为505元，
则，解得，
由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，
函数模型：①；③；④都是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，
所以日销售量与时间的变化的关系式为；
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
即，
当时，
，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值.
22. 已知函数的定义域为R，其图像关于点对称．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的值；
（3）若函数，判断函数的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式．
【正确答案】（1）
（2）1011 （3）
【分析】（1）根据对称性列方程解出a和b；
（2）根据对称性分组计算；
（3）构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.
【小问1详解】
由条件可知函数 经过点 ， ，即 ，
解得： ， ；
【小问2详解】
由于 ，
，
；
【小问3详解】
由于 是奇函数，根据函数平移规则， 也是奇函数，
并且由于 是增函数， 也是增函数， 也是增函数，定义域为
不等式 等价于 ，
即 ， ，由于 是增函数，
，解得 ；
综上，（1）；（2）；（3）.
10
15
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50
10
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50